Equazioni di primo, secondo, terzo e quarto grado

Formulario di matematica

G. Sammito, A. Bernardo, Equazioni algebriche

F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi

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3. Equazioni di secondo grado

Un'equazione di secondo grado o quadratica, in una sola variabile x a coefficienti reali, è

riconducibile alla forma normale + + = ≠

2 0 con 0

ax bx c a

un'equazione di secondo grado incompleta pura è della forma

Equazione incompleta pura: +

2 .

= 0

ax c

Si risolve nel seguente modo: c

+ → = ± −

2 = 0

ax c x

1,2 a

c

− > l’equazione ammette due soluzioni reali opposte.

Se 0

a

c

− < 0 l’equazione non ammette soluzioni reali, ammette due soluzioni immaginarie.

Se a =

= =

2

Se l’equazione si presenta nella forma 0 ed ha come unica soluzione (doppia)

0 0

ax

c x

9 3

− ⇒ ⇒ ±

2 2

4 9 = 0 = =

Esempio: x x x

1,2

4 2

un'equazione spuria di secondo grado è della forma

Equazione incompleta spuria: +

2 = 0 .

ax bx

Si risolve nel seguente modo: ⋅ +

a fattore comune l'equazione si scrive come ( ) = 0

Raccogliendo x ax b

x b

−

=

e .

Per la legge di annullamento del prodotto le due soluzioni (reali) sono = 0 x

x

1 2 a

5

− ⇒ − ⇒

2

3 5 = 0 (3 5) = 0 = 0, =

Esempio: x x x x x x

1 3

un'equazione completa di secondo grado si presenta nella forma

Equazione completa: + +

2 = 0 .

ax bx c

− ± −

2 4

b b ac

Si risolve per mezzo della formula risolutiva =

x

1,2 2 a 2

b b

− ± − ac

2 4

Se il coefficiente è pari si può utilizzare anche la formula ridotta: =

b x

1,2 a

2

b b

− ± −

=

Se e è pari si può utilizzare la formula detta ridottissima x c

a=1 b 1,2 2 4

Δ −

2

La quantità = 4 si chiama a seconda del segno che assume si ha:

b ac discriminante,

− − Δ − + Δ

b b

Δ

1. due soluzioni reali distinte: e

= =

> 0 x x

1 2

2 2

a a

b

−

Δ = =

due soluzioni reali coincidenti:

2. = 0 x x

1 2 2 a

Δ nessuna soluzione reale, due soluzioni complesse coniugate:

3. < 0 − + −Δ

− − −Δ

b i b i

= e =

x x

1 2

2 2

a a 3

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Esempi:

• + + =

2

2 5 2 0

x x − ± − ⋅ ⋅ − ± − − ±

2

5 5 4 2 2 5 25 16 5 3

= = =

applicando la formula risolutiva x

1,2 ⋅

2 2 4 4

− − − +

5 3 8 5 3 2 1

= = − = − = =− =−

le soluzioni sono 2

x x

1 2

4 4 4 4 2

• − + =

2 6 5 0

x x ± − = ± = ±

= 3 9 5 3 4 3 2 , le soluzioni sono

Si può applicare la formula ridottissima x

1,2

= − = = + =

3 2 1 3 2 5

x x

1 2

4. Relazioni fra i coefficienti e le radici di un’equazione di 2° grado

+ +

2

Data un'equazione di secondo grado = 0 , che ha come soluzioni e , fra le radici e i

ax bx c x x

1 2

, ,

coefficienti sussistono le seguenti relazioni:

a b c b c

+ − ⋅

= =

x x x x

Somma delle radici: Prodotto delle radici:

1 2 1 2

a a

− + =

2

Pertanto un’equazione di secondo grado si può sempre scrivere nella forma 0 , dove

x Sx P S

= + = ⋅

,

è la somma delle soluzioni, è il prodotto delle soluzioni: S x x P x x

P 1 2 1 2

Altre relazioni −

2 4

b ac

− =

Differenza delle radici: x x

1 2 2 a

1 1 b

+ −

=

Somma dei reciproci delle radici: x x c

1 2 −

2 2

b ac

+

2 2 =

x x

Somma dei quadati delle radici: 1 2 2

a −

2

1 1 2

b ac

+ =

Somma dei reciproci dei quadrati delle radici: 2 2 2

x x c

1 2

− 3

3

abc b

+

3 3 =

x x

Somma dei cubi delle radici: 1 2 3

a − 3

1 1 3

abc b

+ =

Somma dei reciproci dei cubi delle radici: 3 3 3

x x c

1 2

Da queste relazioni discendono le seguenti proprietà:

- Le radici sono opposte se e solo se = 0

b

- Le radici sono reciproche se e solo se =

a c −

- Le radici sono antireciproche se e solo se =

a c

- Una radice è zero se e solo se = 0

c c c

Δ , e sono discordi se e solo se

- Se , allora le radici sono concordi se e solo se > 0 < 0

> 0 a a 4

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5. Regola dei segni o regola di Cartesio (equazioni di 2° grado)

+ + = Δ ≥

2

Data l’equazione 0 con a ogni permanenza nei segni dei coefficienti

0

ax bx c

corrisponde una soluzione negativa, a ogni variazione dei segni nei coefficienti corrisponde una

soluzione positiva.

Più precisamente:

a b c

+ + + due permanenze, quindi due soluzioni negative

+ + - una permanenza e una variazione: una soluzione negativa, una positiva

+ - - una variazione e una permanenza: una soluzione positiva e una negativa

- + - due variazioni: due soluzioni positive

6. Scomposizione di un trinomio di secondo grado

+ + + +

2 2

Dato un trinomio , e dette le soluzioni dell'equazione = 0 , risulta

,

ax bx c ax bx c

x x

1 2

+ + − −

2 = ( )( )

ax bx c a x x x x

1 2

+ +

2

Dato il trinomio 2 5 2

Esempio: x x − ± − − ±

5 25 16 5 3 1

+ + = = = → = − = −

2 sono

Le soluzioni di 2 5 2 0 2;

x x x x x

1,2 1 2

4 4 2

⎛ ⎞

1

( )

+ + .

Il trinomio si scompone 2 2 ⎜ ⎟

x x 2

⎝ ⎠

7. Equazioni parametriche (di 2° grado)

Si dicono equazioni parametriche le equazioni che contengono, oltre all’incognita solitamente

indicata con la lettera x, anche una o più lettere dette parametri. Le soluzioni variano a seconda dei

valori dei parametri.

• Determinare le soluzioni quando è assegnato il valore del parametro.

( )

+ − + + =

2 , determinare le soluzioni per

2 1 0

Esempio: k=-1

kx k x k

Svolgimento. Sostituire a k il valore assegnato e risolvere l’equazione

( ) ( ) ( )

− − =

− + − − − + = − + = → = = −

2

2 diventa 3 0 , le soluzioni sono

1 1 2 1 1 0 3 0 0; 3

x x

x x x x x x

• Determinare il valore del parametro quando è assegnata una soluzione dell’equazione.

( )

+ − + + =

2 , determinare in modo che l’equazione abbia soluzione

2 1 0

Esempio: k x=9.

kx k x k

Svolgimento. Sostituire il valore della soluzione alla x e risolvere l’equazione nell’incognita k

17

( )

+ − + + = → + − + + = → = → =

2

9 2 9 1 0 81 9 18 1 0 91 17

k k k k k k k k 91

• = −

Determinare il valore del parametro in modo che le soluzioni siano opposte x x

1 2

( ) = −

+ − + + =

2 , determinare in modo che

2 1 0 k x x

Esempio: kx k x k 1 2

Svolgimento. Imporre la somma delle soluzioni nulla:

S=0, − 2

b k

= → − = → − = → − = → =

0 0 0 2 0 2

S k k

a k

• Determinare il valore del parametri in modo che le soluzioni siano uguali

( ) =

+ − + + =

2 , determinare in modo che

2 2 2 3 2 0

Esempio: k x x

kx k x k 1 2

( ) ( )

2

Δ = → − = → − − ⋅ ⋅ + =

2

Svolgimento. Imporre 0 4 0 4 2 4 2 3 2 0

B AC k k k

( )

− + − − = → − − + =

2 2 2

4 4 4 24 16 0 20 32 16 0 dividendo per -4

k k k k k k

+ − = → = − ± + = − ± → = − = +

2

5 8 4 0 4 16 20 4 6 10; 2

k k k k k

1,2 1 2

• Determinare il valore del parametro in modo che la somma delle soluzioni sia un valore 5

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numerico assegnato.

( ) + = −

+ − + + =

2 , determinare in modo che 3

2 1 0

Esempio: k x x

kx k x k 1 2

− 2

b k

= − → − = − → − = − → − = → = −

3 3 3 2 3 1

Svolgimento. Imporre S k k k

a k

• Determinare il valore del parametro in modo che il prodotto delle soluzioni sia un valore

numerico assegnato

( ) ⋅ =

+ − + + =

2 , determinare in modo che 2

2 1 0 k x x

Esempio: kx k x k 1 2

+ 1

c k

= → = → = → + = → =

Svolgimento. Imporre 2 2 2 1 2 1

P k k k

a k

• Determinare il valore del parametro in modo che l’equazione abbia radici reali e distinte

( )

− + + + =

2 , determinare k in modo che l’equazione abbia due radici reali e

2 2 1 0

Esempio: k x kx k

distinte. Δ > → − >

2

Svolgimento. 0 4 0

b ac ( )

( )( )

− − + > → − − − > → − + + > → + > → > −

2 2 2 2 2

4 4 2 1 0 4 4 2 0 4 4 4 8 0 4 8 0 2

k k k k k k k k k k k

• Determinare il valore del parametro in modo che la somma dei reciproci delle soluzioni sia un

valore numerico assegnato. 1 1

( ) + = −

− + + =

2 1

, determinare k in modo che

1 0

Esempio: x k x k x x

1 2

+

1 1 x x S c

b

+ = − → = − → = − = − = + = =

2 1

1 1 1 ; ; ; sostituendo si ha:

Svolgimento. 1 P k

S k

x x x x P a

a

1 2 1 2

+ 1 1

k = − → + = − → = − → = −

1 1 2 1

k k k k 2

k

• Determinare il valore del parametro in modo che la somma dei quadrati delle radici sia un

valore numerico assegnato.

( ) + =

− + + = 2 2

2 1

, determinare k in modo che

1 0 x x

Esempio: x k x k 1 2

( ) 2

+ = → + − = → − =

2 2 2

Svolgimento. 1 2 1 2 1 ; riprendendo i valori di S e di P

x x x x x x S P

1 2 1 2 1 2

( ) 2

+ − = → + + − = → = → =

2 2

1 2 1 2 1 2 1 0 0 .

ottenuti al punto precedente abbiamo k k k k k k k

Analisi dell’esistenza in R e del segno delle radici al variare di un parametro

( )

+ − + − =

2

1 2 3 0

Esempio: k x kx k 3

( )( ) ≥

Δ ≥ → − + − ≥ → ≥ −

2 0

0 4 4 1 3 0 c

k k k k 2 ≥ 0

b

≥ → + ≥ → ≥ − ≥

0 1 0 1 0

a k k a

Δ≥

≥ → − ≥ → ≤ 0

0 2 0 0

b k k

≥ → − ≥ → ≥

0 3 0 3

c k k -1 0 3

3

− 2

Δ <

1° caso k<-3/2; nessuna radice reale.

0

Δ = → due radici reali e coincidenti; 2 variazioni → 2 radici positive.

2° caso k=-3/2; 0

Δ > → 2 radici; 2 variazioni → 2 radici positive.

3° caso -3/2<k<-1; 0 2 → equazione di 1° grado → 1 radice; positiva.

4° caso k=-1; si annulla il coefficiente di x

Δ >

5° caso -1<k<0; → 2 radici; 1 permanenza e 1 variazione → 1 radice positiva e 1 negativa.

0

6° caso k=0; si annulla il coefficiente di x → equazione incompleta pura → 2 radici opposte.

Δ > → 2 radici; 1 variazione e 1 permanenza → 1 radice positiva e 1 negativa.

7° caso 0<k<3; 0

8° caso k=3; si annulla il termine noto → equazione spuria → 1 radice 0, 1 radice positiva. 6

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Δ > → 2 radici; 2 variazioni → 2 radici positive.

9° caso k>3; 0

8. Equazioni riconducibili a equazioni di secondo grado

, sono quelle in cui i coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi sono

Equazioni reciproche

uguali a due a due oppure opposti a due a due.

Esempi

− − + =

3 2 , si annulla per x=-1, con la regola di Ruffini si abbassa di grado

2 3 3 2 0

x x x

− + − =

4 3

12 25 25 12 0 , si annulla sia per x=1, sia per x=-1, si può applicare due volte la regola

x x x

di Ruffini. + =

, sono quelle che si possono scrivere nella forma 0 , con intero

n

ax b n

Equazioni binomie

positivo; le soluzioni sono

b

= ± − se n è pari

x n a

b

= − se n è dispari

x n a

Purché queste radici esistano.

Esempi ⎧ − = → = ±

2 9 0 3

⎪

( )( ) x x

= → − = → − + = →

4 4 2 2

81 81 0 9 9 0 ⎨

x x x x + =

2

⎪⎩ 9 0 non ha soluzioni reali

x

1 1 1

+ = → = − → = − =−

3 3 .

27 1 0 3

x x x

27 27 3 + + = =

2

, si presentano nella forma 0 , si risolvono sostituendo ,

n n n

ax bx c x t

Equazioni trinomie

dalla sostituzione si ottiene un’equazione di 2° grado.

− + = =

4 2 2

6 8 0 , questo tipo di equazione è anche detta , sostituendo

x x x t

Esempio: biquadratica

± − / 4

6 36 32

= =

− + =

2 , che ha per soluzioni , tenendo conto della sostituzione

si ha 6 8 0 t

t t 1,2 2 2 2

⎧ = → = ±

2 4 2

⎪ x x

si ha ⎨ = → = ±

2

⎪⎩ 2 2

x x