Definizione: la cicloide è la curva descritta da un punto fisso su di una circonferenza che rotola su una retta.
Lunghezza di un arco: la lunghezza di un arco della cicloide è
[math]8r[/math]
, dove [math]r[/math]
è il raggio del cerchio generatore.
Area sottesa da un arco: l'area sottostante un arco di cicloide è pari al triplo dell'area del cerchio generatore, cioè è pari a
[math]3 \pi r^2[/math]
.
Equazione parametrica: se
[math]r[/math]
è il raggio del cerchio generatore, l'equazione parametrica della cicloide è
[math]\begin{cases} x = r (t - \\sin (t)) \\ y = r (1 - \\cos(t)) \ \end{cases} qquad t in mathbb{R}[/math]
Equazione cartesiana: se
[math]r[/math]
è il raggio del cerchio generatore, l'equazione cartesiana della cicloide è
[math]x = \sqrt{y {2r - y}} + r cdot \text{arc\\cos}(1 - frac{y}{r})[/math]
Differenziabilità: nei punti in cui è differenziabile, cioè ovunque ad eccezione delle cuspidi, la cicloide rispetta la seguente relazione
[math](frac{d y}{d x})^2 = frac{2r - y}{y}[/math]
