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di _Tipper
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Spirale

Una spirale è una curva che si avvolge attorno ad un punto fisso, detto polo della spirale.

Spirale archimedea

spirale_archimedea.jpg

Equazione in forma polare: dati

[math]a, b in mathbb{R}[/math]
, l'equazione in coordinate polari di una spirale archimedea è

[math]
ho = a + b heta[/math]

Distanza fra i bracci: in una spirale archimedea la distanza fra i bracci vale

[math]2 \pi b[/math]
.

Spirale iperbolica

spirale_iperbolica.jpg

Equazione in forma polare: dato

[math]a in mathbb{R} setmi
us {0}[/math]
, l'equazione in coordinate polare di una spirale iperbolica è
[math]
ho heta = a[/math]
.

Equazione parametrica: l'equazione parametrica di una spirale iperbolica è

[math]\begin{cases} x = a frac{\\cos(t)}{t} \\ y = a frac{\\sin (t)}{t} \ \end{cases} quad t in mathbb{R} setmi
us {0}[/math]

Asintoto: una spirale iperbolica, di equazione in forma polare o parametrica come le precedenti, ammette come asintoto la retta di equazione

[math]y = a[/math]
.

Spirale logaritmica

spirale_logaritmica.gif

Equazione in forma polare: dati

[math]a in mathbb{R} setmi
us {0}[/math]
e
[math]b in mathbb{R} setmi
us {0, 1}[/math]
, l'equazione in coordinate polari di una spirale logaritmica è

[math]
ho = a b^{ heta}[/math]

o equivalentemente

[math] heta = \\log_{b}(frac{
ho}{a})[/math]

Equazione parametrica: l'equazione parametrica di una spirale logaritmica è

[math]\begin{cases} x = a b^t \\cos(t) \\ y = a b^t \\sin (t) \ \end{cases} quad t in mathbb{R}[/math]

Trattrice

La trattrice è una curva in cui i segmenti tra una curva e una data retta risultano di ugual misura.

trattrice.gif

Equazione trigonometrica: l'equazione in forma trigonometrica di una trattrice con la cuspide nel punto

[math](a,0)[/math]
è

[math]x = a ln(frac{a + \sqrt{a^2 - y^2}}{y}) - \sqrt{a^"2- x^2}[/math]

[math]y = a \\cos(t) quad t in [0, frac{\pi}{2}][/math]

Equazione iperbolica: l'equazione in forma iperbolica di una trattrice con la cuspide in

[math](a,0)[/math]
è

[math]y = frac{a}{\\cosh(t)}[/math]

Equazione differenziale: una trattrice con la cuspide in

[math](a,0)[/math]
soddisfa la seguente equazione differenziale

[math]frac{dx}{dy} = - frac{y}{\sqrt{a^2 - y^2}}[/math]

Asintoto: una trattrice, avente come equazione una delle precedenti, ammette come asintoto la retta di equazione

[math]x = 0[/math]

Lunghezza di un arco: la lunghezza di un arco di trattrice individuato dalle rette di equazione

[math]x = x_1[/math]
e
[math]x = x_2[/math]
(
[math]0 ) è
[math]a ln(frac{x_1}{x_2})[/math]

Area: l'area compresa fra la trattrice e il suo asintoto è

[math]a^2 frac{\pi}{2}[/math]


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