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Sintesi
Definizione
L'insieme dei numeri complessi è definito come l'insieme di tutte le coppie di numeri reali, ossia
[math]\mathbb{C} = \mathbb{R} imes \mathbb{R}[/math]
Su
[math]\mathbb{C}[/math]
sono definite due operazioni interne, un'operazione di somma e un'operazione di prodotto, che agiscono nel modo seguente[math](a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) \quad \forall (a,b), (c,d) \in \mathbb{C}[/math]
[math](a,b) \cdot (c,d) = (a \cdot c - b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c) \quad \forall (a,b), (c,d) \in \mathbb{C}[/math]
Da notare che
[math](0,0)[/math]
è l'elemento neutro rispetto alla somma e che [math](1,0)[/math]
lo è rispetto al prodotto. Inoltre [math](0,1) \cdot (0,1) = (-1,0)[/math]
. L'insieme [math]\mathbb{C}[/math]
, munito di queste due operazioni, è un campo.Forma algebrica dei numeri complessi
Posto
[math]1 =_{def} (1,0)[/math]
e [math]i =_{def} (0,1)[/math]
, ogni numero complesso [math](a,b)[/math]
si può esprimere in forma algebrica così come segue[math](a,b) =_{def} a + ib[/math]
Il numero reale
[math]a[/math]
si chiama parte reale, mentre il numero reale [math]b[/math]
si chiama parte immaginaria. Il numero complesso [math]i[/math]
viene detto unità immaginaria, e secondo la definizione risulta [math]i^2 = -1[/math]
. Le operazioni di somma e prodotto si estendono naturalmente ai numeri complessi espressi in forma algebrica[math](a + ib) + (c + id) = a + ib + c + id = a + c + i(b + d)[/math]
[math](a + ib) \cdot (c + id) = a c + i a d + i b c + i^2 b d = a c - bd + i (a d + b c)[/math]
Complesso coniugato
Dato un numero complesso
[math]z = (a,b) = a + ib[/math]
, il suo complesso coniugato è [math]ar\{z\} = (a, -b) = a - ib[/math]
.Modulo e fase
Dato un numero complesso
[math]z = a + ib[/math]
, si definisce modulo di [math]z[/math]
la quantità [math]M = \sqrt{a^2 + b^2}[/math]
, si definisce invece fase, o argomento, di [math]z[/math]
, la quantità [math]h\eta = \begin{cases}\text{"arctg"}(\frac{b}{a}) \quad \text{ "se" } a > 0 \\ \text{"arctg"}(\frac{b}{a}) -\pi, \quad \text{ "se" } a < 0 \text{ "e" } b < 0 \\ \text{"arctg"}(\frac{b}{a}) + \pi, \quad \text{ "se" } a < 0 \text{ "e" } b > 0 \\ \frac{pi}{2}, \quad \text{ "se" } a = 0 \text{ "e" } b > 0 \\ ( -\frac{pi}{2}, \quad \text{ "se" } a = 0 \text{ "e" } b > 0) \end{cases}[/math]
Rappresentazione in forma trigonometrica
Ogni numero complesso
[math]z = a + ib[/math]
può essere espresso in modulo e fase, così come segue [math]z = M (\cos{h\eta} + i \sin{h\eta})[/math]
.Si noti che in questa rappresentazione il complesso coniugato si scrive come
[math]ar\{z\} = M (\cos{h\eta} - i \sin{h\eta})[/math]
.Formula di Eulero
Tramite gli sviluppi in serie di Taylor di seno, coseno e esponenziale si dimostra la seguente formula di Eulero
[math]e^{i h\eta} = \cos{h\eta} + i \sin{h\eta} \quad forall h\eta \in \mathbb{R}[/math]
.Di conseguenza seno e coseno possono essere espressi con esponenziali complessi nel modo seguente
[math]\cos{h\eta} = \frac{e^{i h\eta} + e^{-i h\eta}}{2}[/math]
[math]\sin{h\eta} = \frac{e^{i h\eta} - e^{-i h\eta}}{2i}[/math]
Rappresentazione in forma esponenziale
Ogni numero complesso
[math]z = a + ib[/math]
, con modulo [math]M[/math]
e fase [math]h\eta[/math]
, può essere espresso in forma esponenziale nel modo seguente: [math]z = M e^{i h\eta}[/math]
Si noti che in questa forma il complesso coniugato si scrive come
[math]ar\{z\} = M e^{-i h\eta}[/math]
.Formule di De Moivre
Dati due numeri complessi,
[math]z_1 = M_1 (\cos{h\eta_1} + i \sin{h\eta_1})[/math]
e [math]z_2 = M_2 (\cos{ h\eta_2} + i \sin{ h\eta_2})[/math]
, valgono le seguenti formule di De Moivre [math]z_1 cdot z_2 = M_1 M_2 (\cos{ h\eta_1 + h\eta_2} + i \sin{ h\eta_1 + h\eta_2})[/math]
[math]\frac{z_1}{z_2} = \frac{M_1}{M_2} (\cos{ h\eta_1 - h\eta_2} + i sin{ h\eta_1 - h\eta_2})[/math]
con [math]z_2[/math]
e
[math]0[/math]
.In particolare, indicando con
[math]|\cdot|[/math]
il modulo di un numero complesso e con [math]\text{ "arg" }(\cdot)[/math]
la fase, risulta[math]|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|[/math]
[math]|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}[/math]
[math]\text{ "arg" }(z_1 \cdot z_2) = \text{ "arg" }(z_1) + \text{ "arg" }(z_2)[/math]
[math]\text{ "arg" }(\frac{z_1}{z_2}) = \text{ "arg" }(z_1) - \text{ "arg" }(z_2)[/math]
Dato
[math]z \in \mathbb{C}[/math]
, detto [math]M[/math]
il suo modulo e [math] h\eta[/math]
la sua fase, risulta[math]z^n = M^n (\cos{n h\eta} + i \sin{n h\eta})[/math]
Radici [math]n[/math]-esime
Dato un numero complesso
[math]w[/math]
, si dice che [math]z[/math]
è la radice [math]n[/math]
-esima di [math]w[/math]
se e solo se [math]z^n = w[/math]
. Se [math]w
e 0[/math]
, allora esistono esattamente e 0[/math]
[math]n[/math]
radici [math]n[/math]
-esime di [math]w[/math]
. Dette [math]z_1, z_2, \ldots, z_n[/math]
tali radici, e posto [math]w = M (\cos{ h\eta} + i \sin{ h\eta})[/math]
, risulta[math]z_k = M_k (\cos{ h\eta_k} + i \sin{ h\eta_k})[/math]
con [math]M_k = M^{\frac{1}{n}}[/math]
[math] h\eta_k = \frac{ h\eta + 2 k \pi}{n}[/math]
per ogni [math]k = 0, 1, \ldots, n-1[/math]
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Estratto del documento
Numeri complessi
Definizione
L’insieme dei numeri complessi è definito come l’insieme di tutte le coppie di numeri reali,
ossia C = R × R
Su C sono definite due operazioni interne, un’operazione di somma e un’operazione di
prodotto, che agiscono nel modo seguente
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ∀(a, b), (c, d) ∈ C
(a, b) · (c, d) = (a · c − b · d, a · d + b · c) ∀(a, b), (c, d) ∈ C
Da notare che (0, 0) è l’elemento neutro rispetto alla somma e che (1, 0) lo è rispetto al
prodotto. Inoltre (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0). L’insieme C, munito di queste due operazioni, è
un campo.
Forma algebrica dei numeri complessi
Posto 1 = (1, 0) e i = (0, 1), ogni numero complesso (a, b) si può esprimere in forma
def def
algebrica cosı̀ come segue (a, b) = a + ib
def
Il numero reale a si chiama parte reale, mentre il numero reale b si chiama parte immag-
inaria. Il numero complesso i viene detto unità immaginaria, e secondo la definizione
2
risulta i = −1. Le operazioni di somma e prodotto si estendono naturalmente ai numeri
complessi espressi in forma algebrica
(a + ib) + (c + id) = a + ib + c + id = a + c + i(b + d)
2
(a + ib) · (c + id) = ac + iad + ibc + i bd = ac − bd + i(ad + bc)
Complesso coniugato
Dato un numero complesso z = (a, b) = a + ib, il suo complesso coniugato è z̄ = (a, −b) =
a − ib. 1
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