\[ \boxed{\displaystyle
\sum_{1\le i, j \le n} \int_{\mathbb R^n} \left\vert \frac{\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} \right\vert^2 dx = \int_{\mathbb R^n} \vert \Delta u \vert^2 dx}
\]
dove $\Delta$ è il laplaciano.
L'enunciato resta ancora vero togliendo l'ipotesi che il supporto di $u$ sia compatto?
Idee in libertà.
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Dopo aver polemizzato un attimo perché non si capisce bene a che cavolo servano quei valori assoluti, facciamo le persone semplici e cominciamo con $n=2$. Allora dobbiamo provare che
\[
\sum_{1\le i, j \le 2} \int_{\mathbb R^2} \left\vert \frac{\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} \right\vert^2 dx = \int_{\mathbb R^2} \vert \Delta u \vert^2 dx
\]
Scritto esplicitamente, dobbiamo provare che
\[
\int_{\mathbb R^2} \left\vert \frac{\partial^2u}{\partial x^2} \right\vert^2 dxdy + 2 \int_{\mathbb R^2} \left\vert \frac{\partial^2u}{\partial x \partial y} \right\vert^2 dxdy + \int_{\mathbb R^2} \left\vert \frac{\partial^2u}{\partial y^2} \right\vert^2 dxdy =\int_{\mathbb R^2} \vert \Delta u \vert^2 dxdy
\]
cioè, in notazione comoda,
\[
\int_{\mathbb R^2} u_{xx}^2 + 2 u_{xy}^2 + u_{yy}^2 dxdy = \int_{\mathbb R^2} (u_{xx}+u_{yy})^2 dxdy
\]
A questo punto, la prima cosa che passa per la testa è: per avere la tesi basta (ovvio che non occorre!) che i due integrandi siano uguali e cioè basta provare che
\[
\int_{\mathbb R^2} u_{xy}^2 dxdy= \int_{\mathbb R^2} u_{xx}u_{yy} dxdy
\]
Di nuovo, basterebbe provare che
\[
u_{xy}^2 = u_{xx}u_{yy}
\]
cioè che l'Hessiana è singolare. Il che è chiaramente vero fuori dal supporto di $u$, ma all'interno del supporto...
Solo un commento conclusivo: una "strada" alternativa (ma si tratta solo di riformulare in maniera diversa) è quella di pensare tutto in $L^2$: la tesi è
\[
\Vert u_{xx} \Vert^2_2 + 2\Vert u_{xy} \Vert_2^2 + \Vert u_{yy} \Vert^2_2 = \Vert \Delta u \Vert_2^2
\]
cioè
\[
\Vert u_{xy} \Vert_2^2 = \langle u_{xx}, u_{yy} \rangle
\]
\[
\sum_{1\le i, j \le 2} \int_{\mathbb R^2} \left\vert \frac{\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j} \right\vert^2 dx = \int_{\mathbb R^2} \vert \Delta u \vert^2 dx
\]
Scritto esplicitamente, dobbiamo provare che
\[
\int_{\mathbb R^2} \left\vert \frac{\partial^2u}{\partial x^2} \right\vert^2 dxdy + 2 \int_{\mathbb R^2} \left\vert \frac{\partial^2u}{\partial x \partial y} \right\vert^2 dxdy + \int_{\mathbb R^2} \left\vert \frac{\partial^2u}{\partial y^2} \right\vert^2 dxdy =\int_{\mathbb R^2} \vert \Delta u \vert^2 dxdy
\]
cioè, in notazione comoda,
\[
\int_{\mathbb R^2} u_{xx}^2 + 2 u_{xy}^2 + u_{yy}^2 dxdy = \int_{\mathbb R^2} (u_{xx}+u_{yy})^2 dxdy
\]
A questo punto, la prima cosa che passa per la testa è: per avere la tesi basta (ovvio che non occorre!) che i due integrandi siano uguali e cioè basta provare che
\[
\int_{\mathbb R^2} u_{xy}^2 dxdy= \int_{\mathbb R^2} u_{xx}u_{yy} dxdy
\]
Di nuovo, basterebbe provare che
\[
u_{xy}^2 = u_{xx}u_{yy}
\]
cioè che l'Hessiana è singolare. Il che è chiaramente vero fuori dal supporto di $u$, ma all'interno del supporto...
Solo un commento conclusivo: una "strada" alternativa (ma si tratta solo di riformulare in maniera diversa) è quella di pensare tutto in $L^2$: la tesi è
\[
\Vert u_{xx} \Vert^2_2 + 2\Vert u_{xy} \Vert_2^2 + \Vert u_{yy} \Vert^2_2 = \Vert \Delta u \Vert_2^2
\]
cioè
\[
\Vert u_{xy} \Vert_2^2 = \langle u_{xx}, u_{yy} \rangle
\]
Mi date un'idea per piacere? Sono in qualche modo convinto che l'ipotesi sul supporto sia imprescindibile, ma non so come usarla...
Grazie.
