Assioma della scelta e continuità

[dissonance]

In analisi e in topologia si usano spesso costruzioni del genere:
sia $U_1\supU_2\sup...U_n\sup...$ una successione annidata di parti di un insieme $X$. Scegliendo un $x_n$ in ciascuno di questi otteniamo una successione ${x_n}_{n\inNN}$.

Qui si usa implicitamente l'assioma della scelta?

(Gli $U_n$ non hanno in genere nulla che possa farci scegliere un punto in particolare. Per esempio possono essere una famiglia di aperti di uno spazio topologico non meglio identificato).

[fu^2]

se $U_i\subRR$ intervalli allora per come è costruito $RR$ puoi scegliere un elemento tipo un razionale e quinid non devi tirare in mezzo l'assioa della scelta. In generale, se non puoi arrivarci con una struttura dello spazio come nel caso particolare che ti ho detto, devi ricorrere all'assioma della scelta. almeno così direi a primo getto

[G.D.]

@fu^2
La tua affermazione è contraddittoria: se sceglia allora usi per forza l'AC.

Alla domanda si dissonance la risposta è sì. Si usa l'assioma di scelta anche quando si costruisce l'inversa destra di una applicazione suriettiva.

[dissonance]

Allora propongo un problema: secondo voi è possibile dimostrare la seguente proposizione senza assioma della scelta?

Proposizione(*) Sia $X$ uno spazio metrico, $f:X\toRR$. $f$ è continua $iff$ per ogni successione convergente ${x_n}_{n=1}^infty$ in $X$ risulta $f(lim_{n\toinfty}x_n)=lim_{n\to infty}f(x_n)$.

Chiaramente il problema non è $=>$ ma $Leftarrow$. Con l'assioma della scelta io procederei per assurdo: se $f$ non fosse continua si potrebbe (col metodo di sopra) costruire una successione che contraddice l'ipotesi. E senza assioma della scelta si riesce a dimostrare lo stesso? Io sospetto di no.

___________________
(*) Naturalmente questa cosa è vera in contesti topologici più generali ma al momento non ce ne importa niente.

[ViciousGoblin]

Allora propongo un problema: secondo voi è possibile dimostrare la seguente proposizione senza assioma della scelta?

Proposizione(*) Sia $X$ uno spazio metrico, $f:X\toRR$. $f$ è continua $iff$ per ogni successione convergente ${x_n}_{n=1}^infty$ in $X$ risulta $f(lim_{n\toinfty}x_n)=lim_{n\to infty}f(x_n)$.

Chiaramente il problema non è $=>$ ma $Leftarrow$. Con l'assioma della scelta io procederei per assurdo: se $f$ non fosse continua si potrebbe (col metodo di sopra) costruire una successione che contraddice l'ipotesi. E senza assioma della scelta si riesce a dimostrare lo stesso? Io sospetto di no.

___________________
(*) Naturalmente questa cosa è vera in contesti topologici più generali ma al momento non ce ne importa niente.

Secondo me ti sbagli: in questa dimostrazione non sei tu a scegliere i punti.

Fissa $x_0$ che non sia isolato. Se non fosse vero che $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ allora, NEGANDO la definizione
di limite, ottieni

$\exists V$ intorno di $f(x_0)$ tale che $\forall U$ intorno di $x_0$ $\exists X_U$ in $U$ per cui $f(x_U)\notin V$;
dato che $X$ e' metrico puoi prendere $U=B(x_o,1/n)$ per $n$ intero e quindi
$\exists V$ intorno di $f(x_0)$ tale che $\forall n$ in $NN$ $\exists X_n$ per cui $dist(x_n,x_0)<1/n$ e $f(x_n)\notin V$.

Dunque hai trovato (non scelto) una successione $(x_n)_n$ che tende a $x_0$ ma su cui non si ha $f(x_n)\to f(x_0)$.

Ti pare ?

[dissonance]

Certo, sei stato chiarissimo. Non sono io a scegliere le $x_U$, è l'ipotesi che $f$ non sia continua a mostrarne l'esistenza. Questo poi porta ad una contraddizione con l'ipotesi.

Ed in effetti sto pensando che l'assioma della scelta uno lo usa in dimostrazioni costruttive, non per assurdo.
Esempio che diceva WiZaRd: una applicazione suriettiva ha inversa a destra. Ci serve l'assioma della scelta perché dobbiamo costruire l'inversa a destra, non mostrare che "se per assurdo l'inversa a destra non esistesse, allora capiterebbe la seguente contraddizione: ... ". Mi sbaglio?

[rubik]

il fatto che esiste $x_U in U$ non ti dice che ne esiste uno solo e quindi prendi quello, ti dice che ne esiste almeno uno e tra quelli che fanno al caso nostro ne scegliamo uno, quindi l'assioma della scelta secondo me lo usi, si potrebbe evitare se gli x "buoni" fossero finiti nel nostro U non mi pare questo il caso.

Un esempio che può essere chiarificatore è il teorema "Un unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile" questo è vero solo se vale l'assioma della scelta ed è un caso simile all'esempio precedente: abbiamo una famiglia $A_i$ di insiemi e sappiamo che esistono iniezioni da $A_i->NN$ per costruire la funzione iniettiva $uu A_i -> NN$ (lo facciamo con una sorta di induzione) dobbiamo fissare una mappa $A_i->NN$ precisa usando l'assioma della scelta.

tutto ciò secondo me da prendere con le pinze quindi!

[G.D.]

dato che $X$ e' metrico puoi prendere $U=B(x_o,1/n)$ per $n$ intero e quindi

A me pare che AC sia applicato proprio quì.

[pic]

@fu^2
La tua affermazione è contraddittoria: se sceglia allora usi per forza l'AC.

No, se gli insiemi sono buonordinati (e i razionali lo sono, anche se non in modo canonico) non serve AC. Puoi, da ogni insieme, scegliere il minimo secondo il buon ordinamento.

[ViciousGoblin]

credo che rubik abbia ragione

mi sono fatto ingannare dall'idea che l'ipotesi assurda desse automativcamente la successione.

invece l'assurdo da' che per ogni $n$ l'insieme

$U_n={x:dist(x,x:0)<1/n, f(x)\notin V}$

e' diverso dal vuoto. A questo punto devo trovare la successione, cioe' una funzione $a:NN\to X$ tale che
$a(n)\in U_n$ per ogni $n$
e questo mi pare proprio ò'assioma della scelta (anche se in una versione "mild", in cui si chiede di fare un'infinita' numerabile di scelte)

Chiedo scusa a dissonance per averlo protato fuori dalla retta via....

Invece non ho capito l'obiezione di Wizard