Contare gli omomorfismi tra Z/mZ e Z/nZ

[borador]

Buon pomeriggio a tutti.
Come da titolo, avrei bisogno di chiarimenti su questo tipo di esercizio.
Sul mio testo c'è scritto che per contare gli omomorfismi non si deve fare altro che calcolare il MCD(n,m),
ma un po' perché non mi convince e un po' perché non c'è la dimostrazione, io non mi sono fidato e credo
di aver trovato un controesempio.

Per esempio, se conto gli omomorfismi da Z/3Z=(0,1,2) a Z/3Z, intuitivamente me ne vengono molti di più di 3.
Io so per definizione di omomorfismo che l'elemento neutro mi va nell'elemento neutro, quindi per lo 0 ho una sola scelta.
Per gli altri, visto che l'ordine dell'elemento di arrivo divide l'ordine dell'elemento di partenza, ma in questo caso hanno tutti ordine 3,
ho due scelte per ognuno, cioè posso mandare 1->1 e 2->2 o 1->2 e 2->1. Quindi fino a ora ne ho 2, ma ho contato solo i surgettivi.
Altrimenti posso anche avere che 1 e 2 vanno entrambi in 1 o in 2, quindi altri 2, e fa 4. Dov'è che sbaglio?
Scusate se qualcosa che ho detto ha messo a dura prova le vostre coronarie, ma ho un esame imminente e sono proprio immerso nella
teoria dei gruppi!

Grazie

[Martino]

Ciao!

Parlando del tuo esempio \( \displaystyle f: \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \) , in realtà se \( \displaystyle 1 \) va in \( \displaystyle 1 \) allora \( \displaystyle 2=1+1 \) deve andare in \( \displaystyle f(1)+f(1)=1+1=2 \) , e se \( \displaystyle 1 \) va in \( \displaystyle 2 \) allora \( \displaystyle 2=1+1 \) deve andare in \( \displaystyle f(1)+f(1)=2+2=1 \) Quindi di omomorfismi non nulli ci sono solo i due che scambiano 1 con 2.

Ti faccio un ragionamento più "comprensivo". Considera un omomorfismo \( \displaystyle f:\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \) . Allora la sua immagine è un sottogruppo di \( \displaystyle G := \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \) , quindi è \( \displaystyle \{0\} \) oppure \( \displaystyle G \) . L'unico omomorfismo con immagine nulla è l'omomorfismo nullo. Ne segue che se \( \displaystyle f \) non è l'omomorfismo nullo allora \( \displaystyle f \) è un omomorfismo biiettivo, cioè un isomorfismo. Ora, siccome \( \displaystyle G \) è ciclico ci sono tanti isomorfismi \( \displaystyle G \to G \) quante sono le possibili immagini di un generatore di \( \displaystyle G \) , e tali immagini possono essere solo i generatori di \( \displaystyle G \) , dato che \( \displaystyle \text{Im}(f) = \langle f(g) \rangle \) se \( \displaystyle \langle g \rangle = G \) . Siccome \( \displaystyle G \) ha due generatori, gli isomorfismi \( \displaystyle G \to G \) sono due. Quindi in totale ci sono tre omomorfismi \( \displaystyle G \to G \) .

Nel caso generale, osserva che se \( \displaystyle G = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} = H \) è un omomorfismo \( \displaystyle f \) allora l'ordine di \( \displaystyle f(1) \) in \( \displaystyle H \) divide sia \( \displaystyle n \) che \( \displaystyle m \) . D'altra parte \( \displaystyle f \) è completamente determinato da \( \displaystyle f(1) \) .

[borador]

Ciao Martino, grazie per avermi risposto!
Avevo completamente ignorato il fatto che se 1 va in 1 allora 2 va in f(1)+f(1), errore non da poco perché è proprio la definizione di omomorfismo!
In più, non avevo osservato che Im(f) = sottogruppo generato da f(g), se g genera G. Quindi il generatore viene mandato nel generatore.
Ma quindi il fatto che il numero di omomorfismi è sempre MCD(n,m) è valido?

[Martino]

Ma quindi il fatto che il numero di omomorfismi è sempre MCD(n,m) è valido?

Sì (vedi le ultime due righe del mio intervento precedente).

[borador]

Ok, grazie infinite.
Spero di ritrovarti se avrò ancora problemi!
Buona serata!

[Martino]

Ti scrivo una dimostrazione un po' formale del fatto che ci sono esattamente \( \displaystyle MCD(m,n) \) omomorfismi \( \displaystyle f: G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}=H \) . Un tale omomorfismo è determinato da \( \displaystyle f(1) \) , e l'ordine di \( \displaystyle f(1) \) in \( \displaystyle H \) divide sia \( \displaystyle n \) che \( \displaystyle m \) . Detta \( \displaystyle \varphi \) la funzione di Euler, per ogni divisore \( \displaystyle r \) di \( \displaystyle m \) ci sono \( \displaystyle \varphi(r) \) elementi di ordine \( \displaystyle r \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \) , quindi ci sono in totale \( \displaystyle \sum_{r \in D} \varphi(r) \) omomorfismi \( \displaystyle G \to H \) , dove \( \displaystyle D \) è l'insieme dei divisori comuni di \( \displaystyle n \) ed \( \displaystyle m \) , in altre parole \( \displaystyle D \) è l'insieme dei divisori di \( \displaystyle MCD(n,m) \) . Ma \( \displaystyle \sum_{r \in D} \varphi(r) = \sum_{r|MCD(n,m)} \varphi(r) = MCD(n,m) \) (per una nota proprietà della \( \displaystyle \varphi \) ).