da Sagittarioromano » 09/01/2012, 11:55
Sia f una funzione continua definita in un intervallo [a,b] e sia \varphi una funzione definita in un intervallo \(\displaystyle [\alpha, \beta] \), continua e derivabile con continuità, a valori in [a,b].
Posto \(\displaystyle F(x)=\lmoustache [a,x] f(\xi)d\xi \), consideriamo la funzione composta F o \(\displaystyle \varphi \). Si ha: \(\displaystyle d/dt (F o \varphi)(t)= F'(\varphi(t))\varphi'(t) \).
Poiche f o \(\displaystyle \varphi \) e \(\displaystyle \varphi' \) sono continue otteniamo (F o \(\displaystyle \varphi \))(t)=\(\displaystyle \lmoustache [\alpha,t] f(\varphi(\eta))\varphi'(\eta)d\eta+k (\alpha<=t<=\beta)
\)
relazione che si può anche scrivere
\(\displaystyle \lmoustache [\alpha,\varphi(t)] f(\xi)d\xi=\lmoustache [\alpha,t] f(\varphi(\eta))\varphi'(\eta)d\eta+k \)
Dando a t un particolare valore t0 e sottraendo membro a membro si ricava
\(\displaystyle \lmoustache [\varphi(t0),\varphi(t)] f(\xi)d\xi=\lmoustache [t0,t] f(\varphi(\eta))\varphi'(\eta)d\eta+k
\)
Se\(\displaystyle \varphi(\gamma)=c, \varphi(\delta)=d, \) si ha
\(\displaystyle \lmoustache [c,d] f(\xi)d\xi=\lmoustache [\gamma,\delta] f(\varphi(t))\varphi'(t)dt \)
se \(\displaystyle \varphi \) non è invertibile può accadere che vi sia più di una coppia di punti \(\displaystyle (\gamma,\delta) \)utilizzabile. Se in \(\displaystyle [\alpha,\beta] \) si ha \(\displaystyle \varphi'(t) \) diverso da 0 allora \(\displaystyle \varphi(t) \) ammette inversa e si ha
\(\displaystyle \lmoustache [c,d] f(x )dx = \lmoustache [\varphi ^-1 (c), \varphi^-1 (d)] f(\varphi(t))\varphi'(t)dt \)