Dimostrazione unica radice reale per un'equazione

Messaggioda Alvis » 21/06/2011, 13:48

Salve a tutti,

stavo facendo un pò di quesiti dell'esame di stato; mi sono imbattuto in questa equazione molto semplice: 2x^3 -3x^2 +6x +6=0;

devo dimostrare che ammette un'unica radice reale; mi sono mosso così, ho trovato il limite per -infinito che esce -infinito e il limite per +infinito che esce +infinito, quindi ho dedotto che interseca l'asse x in almeno un punto; in seguito ho trovato la derivata seconda che è sempre maggiore di zero pertanto essendo sempre crescente non può che avere un'unica soluzione reale.

E' giusto questo tipo di procedimento?

Grazie :D
Alvis
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Re: Dimostrazione unica radice reale per un'equazione

Messaggioda Seneca » 21/06/2011, 13:51

Alvis ha scritto:... la derivata seconda che è sempre maggiore di zero pertanto essendo sempre crescente ...


Mi spieghi il passaggio logico che hai seguito?
Seneca
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Messaggioda Alvis » 21/06/2011, 13:54

Si, ho trovato la derivata seconda che è la seguente: 6x^2 -6x +6 ; è maggiore di zero per ogni x appartenente ad R quindi significa che la funzione è sempre crescente, se è sempre crescente ed interseca l'asse x in un punto, quello non può che essere l'unico, considerando che si ha a che fare con un polinomio, che è una funzione continua.
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Messaggioda Seneca » 21/06/2011, 13:59

Veramente il fatto che la derivata seconda sia ovunque positiva significa che la funzione è convessa.
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Messaggioda Alvis » 21/06/2011, 14:02

chiedo scusa, ho sbagliato a scrivere, ovviamente intendevo la derivata prima
Alvis
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Messaggioda Seneca » 21/06/2011, 14:04

D'accordo, ciò è sufficiente per concludere che la radice è unica.
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Messaggioda andrs » 21/06/2011, 18:57

Ma non bisogna considerare anche il teorema di Bolzano(o degli zeri)?Secondo me non è sufficiente dire che è crescente perchè potrebbe anche non intersecare l'asse,sbaglio?
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Messaggioda Seneca » 21/06/2011, 19:00

andrs ha scritto:Ma non bisogna considerare anche il teorema di Bolzano(o degli zeri)?Secondo me non è sufficiente dire che è crescente perchè potrebbe anche non intersecare l'asse,sbaglio?


La considerazione fatta da Alvis riguardante i limiti all'infinito, con i dovuti aggiustamenti (bisogna tirare in ballo il teorema della permanenza del segno e il teorema degli zeri), garantisce che un polinomio di terzo grado (qualsiasi) ammette almeno una radice reale.
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Messaggioda andrs » 21/06/2011, 19:08

ok,non avevo letto la parte iniziale scritta da Alvis.
andrs
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