Esercizio analisi 1 - continuità

[gardos]

data la seguente funzione:

$f(x):=\{ ((sin x *tan (x + pi))/( x (e^(2 x) - 1)), ", se " -pi/2<x<pi/2 " e " x!=0), (1/2, ", se " x = 0):}$


Qualcuno mi sa dire perchè questa funzione è continua?
Ho pensato che perchè fosse continua il limite di quella funzione per $x$ che tende a $0$ dovesse essere $1/2$: ma proprio non mi riesce di fare questo limite ( forma di indecisione $0/0$ ).
Aiuti? Consigli?

[ciccia70]

Scusami un chiarimento ma 1/2x moltipica tutta la frazione? o si trova al denominatore?
Grazieeee

[dissonance]

@gardos: Neanche io capisco niente della tua formula. Ti consiglierei di fare un salto qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
e riscrivere usando questa sintassi.

[empolese]

Ciao ragazzi, sono io l'autore del thread,
gardos è un mio amico che mi ha lasciato gentilmente l'account.
So che sono stato un po' confusionario,
per togliere ogni dubbio posto lo screen dell'esercizio:

(schiacciare sul link.... 29 kb)

http://img8.imageshack.us/img8/7351/ese ... nalisi.jpg

[empolese]

nobody?

[gugo82]

[mod="Gugo82"]Mi sono preso la briga di mettere in forma leggibile l'assegnazione che definisce $f$.

Inoltre, fossi in te mi leggerei bene il regolamento facendo particolare attenzione alle regole 1.2-1.5 e 3.4.[/mod]

Per quanto riguarda la soluzione dell'esercizio, ossia per il calcolo di $lim_(x\to 0) (sinx*tan(x+pi))/(x(e^(2x)-1))$, basta tenere presenti i limiti fondamentali ed il fatto che $tan(x+pi)=tanx$ per periodicità... E ho detto tutto! (Peppino De Filippo)

[kamal]

$lim_(x\to 0) (sinx*tan(x+pi))/(x(e^(2x)-1))$= $lim_(x\to 0) (sinx*tan(x))/(x(e^(2x)-1))$ visto che la funzione $x\to tan(x)$ è $pi$-periodica.
sapiamo che $lim_(x\to 0) (sinx)/x=1$ e $lim_(x\to 0) (tan(x+pi))/x = lim_(x\to 0) (tanx)/x=1$ e $lim_(x\to 0) ((e^(2x)-1)/(2x))=1$ infatti
$x \to e^x$ è derivabile in $0$ quindi per ogni per ogni funzione $f$ derivabile in $0$ abbiamo $lim_(f\to 0) ((e^(f)-1)/(f))=(e^(f))'(0)$
in questo caso $f(x)=1/2x$
quindi $lim_(x\to 0) (sinx*tan(x+pi))/(x(e^(2x)-1))=lim_(x\to 0) (sinx/x*tan(x)/x)/(2(e^(2x)-1)/(2x))=1/2$.

[gugo82]

$lim_(x\to 0) ((e^(2x)-1)/(2x))=1$ infatti
$x \to e^x$ è derivabile in $0$ quindi per ogni per ogni funzione $f$ derivabile in $0$ abbiamo $lim_(f\to 0) ((e^(f)-1)/(f))=(e^(f))'(0)$
in questo caso $f(x)=1/2x$

Vabene che il governo respinge gli immigrati prima delle frontiere, però ancora non ha autorizzato l'uso dei cannoni per sparare alle mosche...

Insomma basta una semplice sostituzione di variabile $y=2x$ per stabilire che $lim_(xto 0) (e^(2x)-1)/(2x)=1$ (via il limite fondamentale $lim_(yto 0) (e^y-1)/y=1$).
Pensar semplice non fa male a volte.