[Sissa '08] $f(x):=x\int_{x}^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt$

[Steven]

Stavo vedendo questo esercizio, in realtà mi ha tenuto occupato più di quanto pensassi e un paio di particolari ancora non li ho chiariti.
Vorrei essere sicuro che si possano appunto specificare o se ci si deve accontentare di asserire che ad esempio il punto di max esiste in un intervallo individuato, senza dire altro.

Sia $f:\quad(0,\infty)\rarr\mathbb{R}$ come da titolo: $f(x):=x\int_{x}^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt$

Studiare la funzione e in particolare

i) Si calcoli Il limite per $x\to0^+$ e per $x\to+\infty$

ii)Determinare intervalli di monotonia e convessità.

Buon lavoro e buon fine Agosto

[j18eos]

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Io inizierei a notare che \[\forall x\in(0;+\infty),\,f(x)\geq0;\] inoltre: \[\forall x\in(0;+\infty),\,f(x)=x\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt\leq x\int_{x}^{+\infty}\frac{e^{-t}}{x}dt=\int_{x}^{+\infty}e^{-t}dt=e^{-x}\] quindi \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=0^+\] per il teorema dei carabinieri!
Ancora: \[\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x\int_x^{+\infty}t^{-1}e^{-t}dt=\lim_{x\to0^+}\frac{\int_x^{+\infty}t^{-1}e^{-t}dt}{\frac{1}{x}}=\frac{\Gamma(0)}{+\infty}=\frac{+\infty}{+\infty}\] applicando la regola di de l'Hôpital: \[\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{-x^{-1}e^{-x}}{-x^{-2}}=0^+.\]

Ho anch'io qualche perplessità, ma comunque aspetto i giudizi altrui!

EDIT Per chi si volesse cimentare ho messo in spoiler l'elaborato!

EDIT2 Le perplessità mi sono passate però aspetto sempre dei commenti!

[j18eos]

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Beh, per la monotonìa si deve iniziare a derivare e risulta: \[f'(x)=\int_{x}^{+\infty}t^{-1}e^{-t}dt-x\cdot x^{-1}e^{-x}=\int_{x}^{+\infty}t^{-1}e^{-t}dt-e^{-x}=\int_{x}^{+\infty}t^{-1}e^{-t}dt-\int_{x}^{+\infty}e^{-t}dt=...=\int_x^{+\infty}e^{-t}\bigg(\frac{1}{t}-1\bigg)dt.\] Notando che l'integrando è negativo in \(]1;+\infty[\), si ha che in tale intervallo la funzione \(f\) è strettamente decrescente!

Con tale forma della derivata prima è: \[f''(x)=-e^{-x}\bigg(\frac{1}{x}-1\bigg)=e^{-x}\bigg(1-\frac{1}{x}\bigg)\] rendendo così fattibilissimo lo studio della derivata seconda!

Sulla monotonìa si potrebbe concludere con altre informazioni studiando qualitativamente il sistema di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine: \[\begin{cases}y_1'=y_2\\y_2'=e^{-x}\bigg(1-\frac{1}{x}\bigg)\end{cases}\] equivalente alla precedente equazione differenziale ordinaria del II ordine.

Spero di non aver sbagliato i segni!

[Steven]

Ok, convessità e limiti non destano problemi.
Per la monotonia, si può dire appunto che

-la funzione deve avere un massimo relativo, visto che è strettamente positiva in $(0,\infty)$ e tende a zero agli estremi di tale intervallo

-visto che la derivata seconda si annulla una sola volta, tale massimo è l'unico punto stazionario

-questo max si trova in $(0,1)$.

Semplicemente, avevo il dubbio riguardo la possibilità o meno di individuare questo massimo con precisione, magari in qualche modo banale che non vedo.

Ciao!