da erdos1123 » 21/06/2011, 18:48
ragazzi credo di esser riuscito a dimostrarlo anche se è formalizzato malissimo (e in questo vi chiedo una mano) allora io ho pensato così: devo calcolare gli elementi non coprimi con $p^n$ da $0$ a $p^n-1$ allora procedendo per induzione su n si ha che per n=1 $varphi(p)=p-1$ e ci siamo per $n-1$ si avrà:$varphi(p^(n-1))=p^(n-1)-p^(n-2)$ ora devo calcolare $varphi(p^n)$ allora abbiamo che i non coprimi sono $p^n$ meno: i non coprimi fino a $p^(n-1)$ che per ipotesi sono $p^(n-1)-p^(n-2)$
e i non coprimi tra $p^n e p^(n-1)$. ora calcolo questi ultimi so che i numeri compresi tra questi due sono $p^n-p^(n-1)$ e sono del tipo $p^(n-1)+1,p^(n-1)+2,...,p^(n-1)+p,....,p^(n-1)+2*p,....,p^(n-1)+p^2,...,p^(n-1)+p(n-1)=2*p^(n-1),....,p*p^(n-1)=p^n$ ora ho trovato che $p^(n-1)+p$non è coprimo con $p^n$ e quindi fino a $p^(n-1)-p^2$ i non coprimi sono p, fino a $p^(n-1)-p^3$ sono $p^2$ e procedendo così si avrà che fino a $p^n$ saranno $p^n-1$. Quindi avrò che i non coprimi con $p^n$ da $p^(n-1)$a$p^n$ saranno $p^n-p^(n-1)+p^(n-2)-p^(n-1)=p^n-2*p^(n-1)+p^(n-2)$ ora questi sommati a quelli dell'ipotesi induttiva (ovvero quelli relativi a $p^(n-1)$ saranno $p^n-2*p^(n-1)+p^(n-2)+p^(n-1)-p^(n-2)=p^n-p^(n-1)$. Vi chiedo scusa se non si capisce niente. Come idea è giusta??? se si mi aiutereste a formalizzare grazie 1000