Gruppi di Frobenius

[claudiamatica]

Ciao a tutti.
Ho qualche perplessità sui gruppi di Frobenius.. è la prima volta che ci entro in contatto e non sono riuscita a trovare molti testi in cui trovare quello che cerco.
Sulla presentazione che ho io viene dato il seguente (senza dimostrazione):

Se G è un gruppo che agisce transitivamente su un insieme finito X, e per ogni elemento g c'è al massimo UN SOLO x che viene fissato,
cioè per ogni g vale: $|{x: gx=x}|=0$ oppure $=1$, allora $N:= {g in G : gx != x} uu {1} $ è un sottogruppo (normale) di G.

Se poi X ha almeno 2 elementi e c'è almeno un elemento del gruppo che fissa un elemento (e uno solo) di X (ovvero se l'azione non è libera), allora il gruppo si dice Gruppo di Frobenius, e N si chiama nucleo di Frobenius.

Devo risolvere degli esercizi sull'argomento, e sono un po' in difficoltà.
La cosa più importante su cui vorrei un aiuto è questa:
bisogna giustificare come mai il fatto che X debba essere finito non è trascurabile. Se ho ben capito l'idea è trovare un controesempio con X infinito in modo che le condizioni siano comunque verificate ma N non risulti essere sottogruppo.
Non riesco ad arrivarci, perchè non riesco a pensare ad azioni non banali su gruppi infiniti in cui gli elementi di G fissino o 1 elemento o 0 elementi.

Poi devo risolvere il seguente esercizio:
Siano G, N, X come nelle ipotesi del teorema, con |X|=n. Mostrare che:
|N| = n
N è normale in G, e agisce transitivamente su X
|G|=nd, dove d è un divisore di n-1.

I primi due punti li ho dimostrati (con formula di Burnside e volendo leggeri smanettamenti), ma non riesco a tirare fuori il fatto che l'altro fattore dell'ordine del gruppo, d, deve dividere n-1.. probabilmente è semplice, in linea con il resto dell'esercizio, ma proprio non riesco.
Grazie a tutti per l'aiuto.
Claudia

[Martino]

Vorrei chiederti una cosa: non si richiede in tutto ciò che G sia finito? Perché la definizione che conosco io di gruppo di Frobenius comincia con "Un gruppo finito G si dice di Frobenius se [...]".

[claudiamatica]

Ciao..
guarda nella definizione che c'è data qui G non è specificato sia finito.. però poi in quell'esercizio che ho postato (il secondo) viene chiesto di dimostrare che l'ordine di G è un certo numero (finito).
Non so che dirti.. certamente per il secondo esercizio si può anche considerare a priori che l'ordine di G è finito. Per quanto riguarda il primo (cioè giustificare il fatto che X deve essere finito affinchè il teorema funzioni) non so cosa dire.. non sono nemmeno sicura che il controesempio vada cercato nella direzione che ho supposto (cioè: le ipotesi si verificano, ma N non è sottogruppo, oppure non è normale).

Non ho ancora manualità con l'argomento, visto che sono cose che vedo ora per la prima volta.. ma non so.. potrebbe anche essere che intende dire che se X non è finito allora non può proprio succedere che venga fissato un solo elemento?

Grazie per l'aiuto
C

[Martino]

Ti dico quello che mi viene in mente.

Per quanto riguarda la prima parte osservo che se G è finito allora automaticamente anche X dev'essere finito (dato che G ci agisce sopra transitivamente). Se vogliamo X infinito allora dobbiamo prendere G infinito. Su questo punto devo pensare ancora, non sono abituato a pensare a gruppi di Frobenius infiniti.

Quanto al secondo punto, osserva che detto \( \displaystyle H \) lo stabilizzatore di un punto \( \displaystyle x \in X \) si ha che \( \displaystyle NH=HN \) è un sottogruppo di \( \displaystyle G \) , e poiché \( \displaystyle N \) agisce transitivamente e \( \displaystyle NH=NNH=NHN \) il sottogruppo \( \displaystyle NH \) contiene \( \displaystyle N \) e tutti i coniugati di \( \displaystyle H \) (cioè tutti gli stabilizzatori), di conseguenza \( \displaystyle NH=G \) . Inoltre è ovvio che \( \displaystyle N \cap H=\{1\} \) . Segue quindi che \( \displaystyle |H|=d \) (perché \( \displaystyle nd=|G|=|NH|=|N| \cdot |H|/|N \cap H| = |N| \cdot |H| = n |H| \) ). Ora prova ad applicare il lemma di Burnside all'azione di \( \displaystyle H \) su \( \displaystyle X \) .

[claudiamatica]

Grazie.
Per calcolare l'indice di N in G mi ero impantanata a guardare il quoziente (la cui azione su X però non è per niente ben definita), invece è molto più efficace ragionare sul fatto che N e H hanno intersezione banale e scrivere G come NH.
Bene, farò i conti con la formula di Burnside e sistemerò i conti.
Grazie, se ti viene anche qualche idea sull'insieme infinito mi aiuti tanto.
In realtà appunto, se X è infinito non ne viene fuori nessun gruppo di Frobenius, visto che il teorema a quanto pare non vale.
C

[claudiamatica]

Ciao, forse sono riuscita a trovare l'esempio.
Uno degli esempi classici di azioni transitive è quella delle trasformazioni affini sui campi finiti, $ g(x)=ax+b $ , e per cercare un controesempio avevo provato a prendere un campo infinito, tipo R, ma il teorema continua a funzionare (N risulta essere l'insieme delle traslazioni, quindi un sottogruppo).
Prendendo invece l'azione (l'idea mi è venuta da un altro esercizio dove è definita un azione simile su anelli finiti, per ricavare per es. i gruppi diedrali):
$ G x Z rarr Z$ data da:
$g(a,b) x rarr g(x)=ax+b $

Dove la buona definizione di g è proprio definita sull'esistenza di a e b, con a invertibile in Z, tale che g(x) sia una biezione su Z.
gli elementi che non fissano niente sono: quelli con a=1 e b non nullo, e quelli con a=-1 e b dispari, e l'identità è caratterizzata da a=1 e b=0
Quindi N è costituito dagli elementi g che hanno a=1, oppure a=-1 e b dispari.
Tuttavia se prendiamo in N un elemento con a=1 e b dispari e un elemento con a=-1 e b dispari, la composizione ha a=-1 e b pari che non sta in N, quindi N non è sottogruppo.

Ditemi se c'è qualcosa che non va.

Ora.. mi è emerso un nuovo problema. Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.. ma nel secondo esercizio (quello dove mi hai aiutata a dimostrare che d|n-1) pensavo di avere risolto bene gli altri punti, invece proprio il primo, cioè far vedere che l'ordine di N è n, non riesco a farlo.
Cioè riesco a dimostrare facilmente che elementi diversi di N si trovano in classi diverse di G/H (H è lo stab. di un certo x), il che mi dice che |N|<n.
Ma non riesco a far vedere che è proprio uguale.. ogni tentativo che faccio mi porta al fatto che in sostanza devo dim. che anche l'azione di N è transitiva, ma questo è il secondo punto da dim. e si dimostra proprio (e molto facilmente) usando il fatto che l'ordine di N è n.
Ti viene in mente qualcosa?

Grazie,
Claudia

[Martino]

Sì il tuo esempio nel caso infinito mi sembra funzionare!

Ora.. mi è emerso un nuovo problema. Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.. ma nel secondo esercizio (quello dove mi hai aiutata a dimostrare che d|n-1) pensavo di avere risolto bene gli altri punti, invece proprio il primo, cioè far vedere che l'ordine di N è n, non riesco a farlo.
Cioè riesco a dimostrare facilmente che elementi diversi di N si trovano in classi diverse di G/H (H è lo stab. di un certo x), il che mi dice che |N|<n.
Ma non riesco a far vedere che è proprio uguale.. ogni tentativo che faccio mi porta al fatto che in sostanza devo dim. che anche l'azione di N è transitiva, ma questo è il secondo punto da dim. e si dimostra proprio (e molto facilmente) usando il fatto che l'ordine di N è n.
Ti viene in mente qualcosa?

Osserva che se X è finito allora è finito anche G (ci agisce sopra fedelmente). Ora basta usare il lemma di Burnside: gli elementi non identici che fissano esattamente un punto sono \( \displaystyle |G|-|N| \) , e l'unico altro elemento che fissa qualcosa è l'identità, che fissa \( \displaystyle n \) punti. Quindi \( \displaystyle |G|=(|G|-|N|)+n \) .

[claudiamatica]

Grazie!
Mi ero davvero persa in un bicchiere d'acqua.
Giuro, sono meno stupida di quanto è sembrato
Avrò esercizi ogni settimana, e sono in Erasmus, non conosco molte persone e non ho qualcuno con cui confrontarmi.. quindi è possibile che mi faccia sentire in un prossimo futuro.


Grazie ancora,
Claudia