Gruppi di ordine 2010

[Martino]

Non per voler essere in tema ma cosa possiamo dire dei gruppi di ordine 2010?

E' una cosa che ho pensato adesso così per via del capodanno... Probabilmente ci penserò anche stasera, tra seitan al cumino, grano saraceno e guacamole.

[mistake89]

Io non so dire nulla perchè non ho ancora gli strumenti, ma la domanda mi aveva incuriosito: cosa possiamo dire?

[Martino]

Intanto, si può arrivare a dire che un gruppo di ordine 2010 è risolubile e il suo 67-Sylow è normale.

A proposito, io sapevo di un risultato generale (basato sul teorema di Feit-Thompson) che diceva che se 4 non divide |G| allora G è risolubile. Non so se sia vero o se me lo sono sognato, voi lo conoscete?

[Martino]

Per il teorema di Schur-Zassenhaus il 67-Sylow \( \displaystyle {N} \) è complementato e due qualsivoglia complementi di \( \displaystyle {N} \) sono coniugati. Quindi \( \displaystyle {G} \) è un prodotto semidiretto \( \displaystyle G=N \rtimes H \) e \( \displaystyle H^1(H,N)=0 \) . Restano da elencare le possibilità per \( \displaystyle {G}\//{N} \) (isomorfo ad \( \displaystyle {H} \)) e per l'omomorfismo \( \displaystyle {H}\to{A}{u}{t}{\left({N}\right)}\stackrel{\sim}{=}{C}_{{{66}}} \). La sua immagine sarà ovviamente contenuta in \( \displaystyle {C}_{{6}} \).

[Martino]

Sono giunto alla conclusione che a meno di isomorfismi i gruppi di ordine 2010 sono 12.

Lemma 1. C'è un unico gruppo di ordine \( \displaystyle 15 \) a meno di isomorfismi, quello ciclico. Si ha \( \displaystyle Aut(C_{15}) \cong C_4 \times C_2 \) .

Prova: Se \( \displaystyle G \) è un gruppo di ordine \( \displaystyle 15 \) allora per i teoremi di Sylow i sottogruppi di Sylow di \( \displaystyle G \) sono normali, quindi \( \displaystyle G \) è il prodotto diretto di \( \displaystyle C_3 \) e \( \displaystyle C_5 \) e quindi \( \displaystyle G \cong C_{15} \) . Per quanto riguarda il gruppo degli automorfismi, basta ricordare che \( \displaystyle \text{Aut}(C_{15})=U(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}) \) e fare i conti.

Lemma 2. I gruppi di ordine 30 a meno di isomorfismi sono \( \displaystyle C_{30} \) , \( \displaystyle D_{30} \) , \( \displaystyle D_{10} \times C_3 \) e \( \displaystyle S_3 \times C_5 \) .

Prova: Ricordo che il gruppo diedrale \( \displaystyle D_{2n} \) ammette la presentazione \( \displaystyle D_{2n} = \langle g,h\ |\ g^n=1,\ g^h=g^{-1} \rangle \) . Sia \( \displaystyle G \) un gruppo di ordine \( \displaystyle 30 \) . Per quanto discusso qui (o per considerazioni basate sui teoremi di Sylow) esiste un sottogruppo \( \displaystyle H \) di \( \displaystyle G \) di ordine \( \displaystyle 15 \) , cioè indice \( \displaystyle 2 \) , quindi normale, e \( \displaystyle H \cong C_{15} \) (lemma 1). \( \displaystyle H \) è complementato (un complemento è generato da un qualsiasi elemento di ordine \( \displaystyle 2 \) ), sia \( \displaystyle T= \langle t \rangle \) un complemento. Allora \( \displaystyle G = H \rtimes T \) e basta elencare le possibilità per l'omomorfismo \( \displaystyle \phi: T \to \text{Aut}(H) \cong C_4 \times C_2 \) (vd. lemma 1) per conoscere \( \displaystyle G \) . Ci sono quattro possibilità per l'immagine di \( \displaystyle t \) in \( \displaystyle \text{Aut}(H) \cong C_4 \times C_2 \) : l'identità o un elemento di ordine \( \displaystyle 2 \) . Scriviamo \( \displaystyle H= \langle h \rangle \) . Le possibilità sono:
1) \( \displaystyle \phi(t)=1 \) . In tal caso \( \displaystyle H \) è centrale e quindi \( \displaystyle G \cong C_{30} \) .
2) \( \displaystyle \phi(t)(h)=h^{-1} \) . In tal caso \( \displaystyle G \cong D_{30} \) (basta ricordare la presentazione di \( \displaystyle D_{2n} \) ).
3) \( \displaystyle \phi(t)(h)=h^4 \) . In tal caso \( \displaystyle \phi(t) \) fissa \( \displaystyle h^5 \) e inverte \( \displaystyle h^3 \) , quindi \( \displaystyle G \cong D_{10} \times C_3 \) .
4) \( \displaystyle \phi(t)(h)=h^{11} \) . In tal caso \( \displaystyle \phi(t) \) fissa \( \displaystyle h^3 \) e inverte \( \displaystyle h^5 \) , quindi \( \displaystyle G \cong S_3 \times C_5 \) (ricordo che \( \displaystyle D_6 \cong S_3 \) ).
CVD

Ora preso \( \displaystyle G \) di ordine 2010 sappiamo che il \( \displaystyle 67 \) -Sylow \( \displaystyle N \) (ciclico di ordine \( \displaystyle 67 \) ) è normale e complementato da \( \displaystyle H \) di ordine \( \displaystyle 30 \) (per il teorema di Schur-Zassenhaus), quindi \( \displaystyle G=N \rtimes H \) . Rimane da determinare l'omomorfismo \( \displaystyle H \to \text{Aut}(N) \cong C_{66} \) , la cui immagine è contenuta in \( \displaystyle C_6 \) . Ho già osservato che \( \displaystyle G \) è risolubile (poiché \( \displaystyle N \) e \( \displaystyle G/N \) lo sono). Osserviamo che se \( \displaystyle A \) e \( \displaystyle B \) sono due gruppi finiti il numero di omomorfismi \( \displaystyle A \to B \) di immagine \( \displaystyle I \leq B \) è uguale al numero di sottogruppi normali \( \displaystyle C \) di \( \displaystyle A \) tali che \( \displaystyle A/C \cong I \) moltiplicato per il numero di automorfismi di \( \displaystyle I \) . Si hanno quattro casi.

1) \( \displaystyle H = C_{30} \) . Ci sono 4 omomorfismi possibili \( \displaystyle C_{30} \to C_6 \) (corrispondenti ai quattro sottogruppi di \( \displaystyle C_{30} \) di indici 1, 2, 3, 6).
2) \( \displaystyle H=D_{30} \) . Ci sono 2 omomorfismi possibili \( \displaystyle D_{30} \to C_6 \) (corrispondenti ai sottogruppi di indici 1 e 2), infatti il sottogruppo di \( \displaystyle D_{30} \) di indice 3 non è normale e il sottogruppo di indice 6 è normale ma il relativo quoziente non è ciclico (è isomorfo a \( \displaystyle S_3 \) ).
3) \( \displaystyle H=D_{10} \times C_3 \) . Ci sono 4 omomorfismi possibili \( \displaystyle D_{10} \times C_3 \to C_6 \) (corrispondenti ai sottogruppi di indici 1,2,3,6, che sono tutti normali di quoziente ciclico).
4) \( \displaystyle H=S_3 \times C_5 \) . Ci sono 2 omomorfismi possibili \( \displaystyle S_3 \times C_5 \to C_6 \) (corrispondenti ai sottogruppi di indici 1 e 2), infatti il sottogruppo di indice \( \displaystyle 3 \) non è normale e il sottogruppo di indice \( \displaystyle 6 \) è normale ma il relativo quoziente non è ciclico (è isomorfo a \( \displaystyle S_3 \) ).

In totale quindi i casi possibili sono 12.

[alvinlee88]

Ora preso \( \displaystyle {G} \) di ordine 2010 sappiamo che il \( \displaystyle {67} \)-Sylow \( \displaystyle {N} \) (ciclico di ordine \( \displaystyle {67} \)) è normale e complementato da \( \displaystyle {H} \) di ordine \( \displaystyle {30} \), .

Come fai a dire che esiste in G un sottogruppo di ordine 30?

[Martino]

Ora preso \( \displaystyle {G} \) di ordine 2010 sappiamo che il \( \displaystyle {67} \)-Sylow \( \displaystyle {N} \) (ciclico di ordine \( \displaystyle {67} \)) è normale e complementato da \( \displaystyle {H} \) di ordine \( \displaystyle {30} \), .

Come fai a dire che esiste in G un sottogruppo di ordine 30?

Ho usato senza citarlo il teorema di Schur-Zassenhaus. Ora specifico.
L'avevo scritto nell'intervento precedente.

[adaBTTLS]

naturalmente c'entra poco con il topic, però è una curiosità che ho trovato in una mailing list:

Buon 2*3*5*(7+11+13+17+19) a tutti!