gruppi di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{2}} \), con \( \displaystyle {p} \) primo

[deserto]

Sono a proporvi quanto segue.

Usando il seguente risultato:

Sia \( \displaystyle {G} \) un gruppo finito e sia \( \displaystyle {H}\ne{G} \) un suo sottogruppo tale che \( \displaystyle {o}{\left({G}\right)} \) non divida \( \displaystyle {i}{\left({H}\right)}! \), allora \( \displaystyle {H} \) contiene un sottogruppo normale non banale di \( \displaystyle {G} \).

dimostrare che un gruppo di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{2}} \), dove \( \displaystyle {p} \) è un numero primo, ha un sottogruppo normale di ordine \( \displaystyle {p} \).
Dimostrare poi che in un gruppo di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{2}} \) ogni sottogruppo normale di ordine \( \displaystyle {p} \) è contenuto nel centro del gruppo.
Infine dimostrare che un gruppo di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{2}} \) è abeliano.

Sia \( \displaystyle {G} \) un gruppo di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{2}} \). Sia \( \displaystyle {H} \) un suo sottogruppo. Per Lagrange si ha che \( \displaystyle {o}{\left({H}\right)}{\mid}{o}{\left({G}\right)} \). Supponiamo che \( \displaystyle {o}{\left({H}\right)}={p} \) e proviamo che \( \displaystyle {H} \) è normale. Abbiamo che \( \displaystyle {H}\ne{G} \) e \( \displaystyle {o}{\left({G}\right)}={{p}}^{{2}} \) non divide \( \displaystyle {i}{\left({H}\right)}!={\left(\frac{{{p}}^{{2}}}{{p}}\right)}!={p}! \) poichè \( \displaystyle {p} \) non divide \( \displaystyle {\left({p}-{1}\right)}! \). Si ha così che \( \displaystyle {H} \) deve contenere un sottogruppo normale non banale di \( \displaystyle {G} \); poichè \( \displaystyle {o}{\left({H}\right)}={p} \) è primo, \( \displaystyle {H} \) è il sottogruppo normale cercato.
Il dubbio consiste nel fatto che ho dato per scontata l'esistenza del sottogruppo \( \displaystyle {H} \) senza provarla: qualche idea in merito?

Verifico che \( \displaystyle {H}\subset{Z}{\left({G}\right)} \).
Anche \( \displaystyle {Z}{\left({G}\right)} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \), pertanto per Lagrange si hanno le seguenti tre possibilità: o \( \displaystyle {o}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}={1} \) o \( \displaystyle {o}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}={p} \) o \( \displaystyle {o}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}={{p}}^{{2}} \). E' chiaro che se risultasse \( \displaystyle {o}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}={{p}}^{{2}} \) allora automaticamente sarebbe \( \displaystyle {G}={Z}{\left({G}\right)} \) e quindi \( \displaystyle {G} \) sarebbe abeliano e \( \displaystyle {H}\subset{Z}{\left({G}\right)} \) Anche qui avrei bisogno di qualche suggerimento.

Vi ringrazio.

[Martino]

Il dubbio consiste nel fatto che ho dato per scontata l'esistenza del sottogruppo \( \displaystyle {H} \) senza provarla: qualche idea in merito?

Prendi un elemento \( \displaystyle {g} \) in \( \displaystyle {G} \) diverso da \( \displaystyle {1} \). Se il suo ordine è \( \displaystyle {{p}}^{{2}} \) allora \( \displaystyle {H}=\lt{{g}}^{{p}}\gt \) ha ordine \( \displaystyle {p} \). Altrimenti \( \displaystyle {g} \) ha ordine \( \displaystyle {p} \), quindi \( \displaystyle {H}=\lt{g{\gt}} \) ha ordine \( \displaystyle {p} \).

Verifico che \( \displaystyle {H}\subset{Z}{\left({G}\right)} \).
Anche \( \displaystyle {Z}{\left({G}\right)} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \), pertanto per Lagrange si hanno le seguenti tre possibilità: o \( \displaystyle {o}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}={1} \) o \( \displaystyle {o}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}={p} \) o \( \displaystyle {o}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}={{p}}^{{2}} \). E' chiaro che se risultasse \( \displaystyle {o}{\left({Z}{\left({G}\right)}\right)}={{p}}^{{2}} \) allora automaticamente sarebbe \( \displaystyle {G}={Z}{\left({G}\right)} \) e quindi \( \displaystyle {G} \) sarebbe abeliano e \( \displaystyle {H}\subset{Z}{\left({G}\right)} \) Anche qui avrei bisogno di qualche suggerimento.

(Edito: - metto un argomento più semplice -)
Se \( \displaystyle {G} \) ha un elemento di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{2}} \) allora \( \displaystyle {G} \) è ciclico e non hai problemi. Altrimenti ogni elemento non identico di \( \displaystyle {G} \) ha ordine \( \displaystyle {p} \). Prendi un elemento \( \displaystyle {x} \) fuori da \( \displaystyle {H} \), e considera l'automorfismo di \( \displaystyle {G} \) dato dal coniugio con \( \displaystyle {x} \), cioè la funzione \( \displaystyle {G}\to{G} \) che manda \( \displaystyle {g} \) in \( \displaystyle {{g}}^{{x}}={{x}}^{{-{1}}}{g{{x}}} \). Se dimostri che tale funzione ristretta a \( \displaystyle {H} \) è l'identità hai finito.

Ti segnalo questo link, pagine 15 e 16 (è una cosa che sto scrivendo, nel caso la leggessi se ci trovi qualcosa di poco chiaro fammi sapere).

[deserto]

Grazie per le risposte.
Quindi se \( \displaystyle {o}{\left({G}\right)}={{p}}^{{2}} \) allora \( \displaystyle \exists{g{\in}}{G} \) tale che \( \displaystyle {g{\ne}}{e} \). Per \( \displaystyle {g} \) ci sono due sole possibilità: o \( \displaystyle {o}{\left({g}\right)}={p} \) oppure \( \displaystyle {o}{\left({g}\right)}={{p}}^{{2}} \). Se \( \displaystyle {o}{\left({g}\right)}={p} \), considerato \( \displaystyle {H}=\lt{g{\gt}}={\left\lbrace{e},{g},{{g}}^{{2}},\ldots,{{g}}^{{{p}-{1}}}\right\rbrace} \) si ha che \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo con \( \displaystyle {o}{\left({H}\right)}={p} \). Se \( \displaystyle {o}{\left({g}\right)}={{p}}^{{2}} \) si considera \( \displaystyle {H}=\lt{{g}}^{{p}}\gt={\left\lbrace{e},{{g}}^{{p}},{{\left({{g}}^{{p}}\right)}}^{{2}},\ldots,{{\left({{g}}^{{p}}\right)}}^{{{p}-{1}}}\right\rbrace} \) che è anch'esso un sottogruppo con \( \displaystyle {o}{\left({H}\right)}={p} \).

Mi domando se questo fatto è generalizzabile, ossia se fosse \( \displaystyle {o}{\left({G}\right)}={{p}}^{{3}} \) allora \( \displaystyle \exists{g{\in}}{G} \) tale che \( \displaystyle {g{\ne}}{e} \). Per \( \displaystyle {g} \) ci sono tre possibilità: o \( \displaystyle {o}{\left({g}\right)}={p} \) o \( \displaystyle {o}{\left({g}\right)}={{p}}^{{2}} \) o \( \displaystyle {o}{\left({g}\right)}={{p}}^{{3}} \). Rispettivamente si avrebbe \( \displaystyle {H}=\lt{g{\gt}}={\left\lbrace{e},{g},{{g}}^{{2}},\ldots,{{g}}^{{{p}-{1}}}\right\rbrace} \) , \( \displaystyle {H}=\lt{{g}}^{{p}}\gt={\left\lbrace{e},{{g}}^{{p}},{{\left({{g}}^{{p}}\right)}}^{{2}},\ldots,{{\left({{g}}^{{p}}\right)}}^{{{p}-{1}}}\right\rbrace} \) , \( \displaystyle {H}=\lt{{g}}^{{{{p}}^{{2}}}}\gt={\left\lbrace{e},{{g}}^{{{{p}}^{{2}}}},{{\left({{g}}^{{{{p}}^{{2}}}}\right)}}^{{2}},\ldots,{{\left({{g}}^{{{{p}}^{{2}}}}\right)}}^{{{p}-{1}}}\right\rbrace} \). Quindi anche in questo caso è garantita l'esistenza di un sottogruppo di ordine \( \displaystyle {p} \). E' corretto? E' anche possibile affermare che ci sono sottogruppi di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{2}} \)?

Infine se considero l'applicazione \( \displaystyle \phi_{{x}}:{G}\to{G}:{g{\to}}{{x}}^{{-{1}}}{g{{x}}} \) con \( \displaystyle {x}\notin{H} \), riesco a provare che:
- essa è iniettiva \( \displaystyle \phi_{{x}}{\left({g}_{{1}}\right)}=\phi_{{x}}{\left({g}_{{2}}\right)}\Rightarrow{{x}}^{{-{1}}}{g}_{{1}}{x}={{x}}^{{-{1}}}{g}_{{2}}{x}\Rightarrow{g}_{{1}}={g}_{{2}} \) usando la legge di cancellazione.
- essa è suriettiva poichè mi basta prendere \( \displaystyle {x}{{g{{x}}}}^{{-{1}}}\in{G} \) per avere \( \displaystyle \phi_{{x}}{\left({x}{{g{{x}}}}^{{-{1}}}\right)}={g} \).
- è un omomorfismo: \( \displaystyle \phi_{{x}}{\left({g}_{{1}}{g}_{{2}}\right)}={{x}}^{{-{1}}}{g}_{{1}}{g}_{{2}}{x}={{x}}^{{-{1}}}{g}_{{1}}{x}{{x}}^{{-{1}}}{g}_{{2}}{x}=\phi_{{x}}{\left({g}_{{1}}\right)}\phi_{{x}}{\left({g}_{{2}}\right)} \).
Qui mi riblocco ossia non riesco a verificare che "Se dimostri che tale funzione ristretta a \( \displaystyle {H} \) è l'identità hai finito. "

[Martino]

Grazie per le risposte.
Quindi se \( \displaystyle {o}{\left({G}\right)}={{p}}^{{2}} \) allora \( \displaystyle \exists{g{\in}}{G} \) tale che \( \displaystyle {g{\ne}}{e} \). Per \( \displaystyle {g} \) ci sono due sole possibilità: o \( \displaystyle {o}{\left({g}\right)}={p} \) oppure \( \displaystyle {o}{\left({g}\right)}={{p}}^{{2}} \). Se \( \displaystyle {o}{\left({g}\right)}={p} \), considerato \( \displaystyle {H}=\lt{g{\gt}}={\left\lbrace{e},{g},{{g}}^{{2}},\ldots,{{g}}^{{{p}-{1}}}\right\rbrace} \) si ha che \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo con \( \displaystyle {o}{\left({H}\right)}={p} \). Se \( \displaystyle {o}{\left({g}\right)}={{p}}^{{2}} \) si considera \( \displaystyle {H}=\lt{{g}}^{{p}}\gt={\left\lbrace{e},{{g}}^{{p}},{{\left({{g}}^{{p}}\right)}}^{{2}},\ldots,{{\left({{g}}^{{p}}\right)}}^{{{p}-{1}}}\right\rbrace} \) che è anch'esso un sottogruppo con \( \displaystyle {o}{\left({H}\right)}={p} \).

Mi domando se questo fatto è generalizzabile, ossia se fosse \( \displaystyle {o}{\left({G}\right)}={{p}}^{{3}} \) allora \( \displaystyle \exists{g{\in}}{G} \) tale che \( \displaystyle {g{\ne}}{e} \). Per \( \displaystyle {g} \) ci sono tre possibilità: o \( \displaystyle {o}{\left({g}\right)}={p} \) o \( \displaystyle {o}{\left({g}\right)}={{p}}^{{2}} \) o \( \displaystyle {o}{\left({g}\right)}={{p}}^{{3}} \). Rispettivamente si avrebbe \( \displaystyle {H}=\lt{g{\gt}}={\left\lbrace{e},{g},{{g}}^{{2}},\ldots,{{g}}^{{{p}-{1}}}\right\rbrace} \) , \( \displaystyle {H}=\lt{{g}}^{{p}}\gt={\left\lbrace{e},{{g}}^{{p}},{{\left({{g}}^{{p}}\right)}}^{{2}},\ldots,{{\left({{g}}^{{p}}\right)}}^{{{p}-{1}}}\right\rbrace} \) , \( \displaystyle {H}=\lt{{g}}^{{{{p}}^{{2}}}}\gt={\left\lbrace{e},{{g}}^{{{{p}}^{{2}}}},{{\left({{g}}^{{{{p}}^{{2}}}}\right)}}^{{2}},\ldots,{{\left({{g}}^{{{{p}}^{{2}}}}\right)}}^{{{p}-{1}}}\right\rbrace} \). Quindi anche in questo caso è garantita l'esistenza di un sottogruppo di ordine \( \displaystyle {p} \). E' corretto?

Si, ma d'altra parte vale un teorema ancora piu' generale: dato un qualsiasi gruppo finito \( \displaystyle {G} \), se \( \displaystyle {p} \) e' un divisore primo dell'ordine di \( \displaystyle {G} \) allora \( \displaystyle {G} \) ha elementi di ordine \( \displaystyle {p} \) (e quindi sottogruppi di ordine \( \displaystyle {p} \)). (vedi il link che ti ho segnalato, lemma 1).

E' anche possibile affermare che ci sono sottogruppi di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{2}} \)?

Si, e questo si generalizza: dato un gruppo finito \( \displaystyle {G} \) e un divisore primo \( \displaystyle {p} \) dell'ordine di \( \displaystyle {G} \), per ogni \( \displaystyle {k} \) tale che \( \displaystyle {{p}}^{{k}} \) divide l'ordine di \( \displaystyle {G} \) esiste un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \) di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{k}} \) (questo viene dalla teoria di Sylow: vedi il link che ti ho segnalato, teorema 2).
Osserva pero' che l'esistenza di un sottogruppo di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{k}} \) e' ben diversa dall'esistenza di un elemento di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{k}} \) (per esempio il prodotto diretto \( \displaystyle {C}_{{2}}\times{C}_{{2}} \) non ha elementi di ordine 4).

non riesco a verificare che "Se dimostri che tale funzione ristretta a \( \displaystyle {H} \) è l'identità hai finito. "

Come hai ben detto \( \displaystyle \phi_{{x}} \) e' biiettiva, e siccome \( \displaystyle {H} \) e' normale essa induce una funzione biiettiva (e anzi un isomorfismo) \( \displaystyle {H}\to{H} \), \( \displaystyle {h}\to\phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{x}}^{{-{1}}}{h}{x} \). Ora \( \displaystyle {H} \) e' ciclico (ha ordine \( \displaystyle {p} \)), quindi detto \( \displaystyle {h} \) un generatore di \( \displaystyle {H} \) deve esistere \( \displaystyle {m}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{p}-{1}\right\rbrace} \) tale che \( \displaystyle \phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{m}} \).

Prendi la composizione di \( \displaystyle \phi_{{x}} \) con se stesso \( \displaystyle {p} \) volte, \( \displaystyle \phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}\circ\ldots\circ\phi_{{x}} \) (\( \displaystyle {p} \) volte) ed applicala ad \( \displaystyle {h} \). Cosa succede?

[deserto]

Chiarito il fatto che \( \displaystyle \phi_{{x}}:{H}\to{H}:{h}\to{{x}}^{{-{1}}}{h}{x} \); se \( \displaystyle \phi_{{x}} \) ristretta ad \( \displaystyle {H} \) fosse l'applicazione identità allora avrei in automatico: \( \displaystyle \forall{h}\in{H} \) avrei \( \displaystyle {h}=\phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{x}}^{{-{1}}}{h}{x} \) da cui immediatamente \( \displaystyle {h}{x}={x}{h} \) e questo prendendo \( \displaystyle {x}\in{G} \) ma \( \displaystyle {x}\notin{H} \); se invece fosse \( \displaystyle {x}\in{H} \) allora si avrebbe ancora \( \displaystyle {h}{x}={x}{h} \) perchè essendo \( \displaystyle {H} \) ciclico in particolare è abeliano. In definitiva preso \( \displaystyle {h}\in{H} \) \( \displaystyle \forall{x}\in{G} \) avrei \( \displaystyle {h}{x}={x}{h} \) ossia \( \displaystyle {h}\in{Z}{\left({G}\right)} \).

Considero l'applicazione \( \displaystyle \phi_{{x}} \) composta con se stessa \( \displaystyle {p} \) volte, si ha, prendendo \( \displaystyle {h}\in{H} \), \( \displaystyle {\left(\phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}\circ\ldots\circ\phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}\right)}{\left({h}\right)}={{x}}^{{-{p}}}{h}{{x}}^{{p}} \). In particolare se \( \displaystyle {h} \) fosse il generatore di \( \displaystyle {H} \) si avrebbe che \( \displaystyle \exists{m}\in{\left\lbrace{1},{2},\ldots,{p}-{1}\right\rbrace} \) tale che \( \displaystyle \phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{m}} \) da cui \( \displaystyle {\left(\phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}\circ\ldots\circ\phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}\right)}{\left({h}\right)}={\left(\phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}\circ\ldots\circ\phi_{{x}}\right)}{\left({{h}}^{{m}}\right)}={{x}}^{{-{\left({p}-{1}\right)}}}{{h}}^{{{m}}}{{x}}^{{{p}-{1}}} \) . Confrotando le due espressioni ottenute si ha: \( \displaystyle {{h}}^{{m}}={{x}}^{{-{1}}}{h}{x} \) e in definitiva \( \displaystyle \phi_{{x}}:{H}\to{H}:{h}\to{{h}}^{{m}} \) che non è l'identità.

[Martino]

Considero l'applicazione \( \displaystyle \phi_{{x}} \) composta con se stessa \( \displaystyle {p} \) volte, si ha, prendendo \( \displaystyle {h}\in{H} \), \( \displaystyle {\left(\phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}\circ\ldots\circ\phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}\right)}{\left({h}\right)}={{x}}^{{-{p}}}{h}{{x}}^{{p}} \). In particolare se \( \displaystyle {h} \) fosse il generatore di \( \displaystyle {H} \) si avrebbe che \( \displaystyle \exists{m}\in{\left\lbrace{1},{2},\ldots,{p}-{1}\right\rbrace} \) tale che \( \displaystyle \phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{m}} \)

Ricorda che abbiamo escluso il caso in cui \( \displaystyle {G} \) ha elementi di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{2}} \), quindi se \( \displaystyle {x}\ne{1} \) allora \( \displaystyle {x} \) ha ordine \( \displaystyle {p} \), da cui \( \displaystyle {{x}}^{{p}}={1} \). Osserva che siccome \( \displaystyle \phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{m}} \) si ha \( \displaystyle \phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{{{m}}^{{2}}}} \) e così via, quando i \( \displaystyle \phi_{{x}} \) sono \( \displaystyle {p} \) hai \( \displaystyle \phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}\circ\ldots\circ\phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{{{m}}^{{p}}}} \).

Dalle uguaglianze che hai scritto risulta quindi che

\( \displaystyle {h}={{x}}^{{-{p}}}{h}{{x}}^{{p}}=\phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}\circ\ldots\circ\phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{{{m}}^{{p}}}} \).

In altre parole \( \displaystyle {{h}}^{{{{m}}^{{p}}-{1}}}={1} \). Qui dovresti dedurre qualcosa di importante.

[deserto]

L'unica cosa di importante che mi viene in mente analizzando l'uguaglianza \( \displaystyle {{h}}^{{{{m}}^{{p}}-{1}}}={e} \) è che essendo \( \displaystyle {o}{\left({h}\right)}={p} \), \( \displaystyle {{m}}^{{p}}-{1} \) deve essere un multiplo di \( \displaystyle {p} \), ossia deve \( \displaystyle \exists{k}\in\mathbb{N} \) tale che \( \displaystyle {{m}}^{{p}}-{1}={k}{p} \) da cui \( \displaystyle {m}={\sqrt[{{p}}]{{{k}{p}+{1}}}} \) ma essendo \( \displaystyle {m} \) un numero intero si ha che necessariamente deve essere \( \displaystyle {k}={0} \) da cui subito \( \displaystyle {m}={1} \), concludendo così la dimostrazione.

Faccio solo un'osservazione su
\( \displaystyle \phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{{{m}}^{{2}}}} \).
In realtà avrei che \( \displaystyle \exists{m}_{{1}}\in{\left\lbrace{1},{2},\ldots,{p}-{1}\right\rbrace} \) tale che \( \displaystyle \phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{{m}_{{1}}}} \), poi \( \displaystyle \exists{m}_{{2}}\in{\left\lbrace{1},{2},\ldots,{p}-{1}\right\rbrace} \) tale che \( \displaystyle \phi_{{x}}{\left({{h}}^{{{m}_{{1}}}}\right)}={\left({{h}}^{{{m}_{{2}}}}\right)} \). In generale si avrebbe che \( \displaystyle \exists{m}_{{p}}\in{\left\lbrace{1},{2},\ldots,{p}-{1}\right\rbrace} \) tale che (\( \displaystyle {p} \) volte) \( \displaystyle \phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}\ldots\circ\phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{{m}_{{p}}}} \) da cui \( \displaystyle {m}_{{p}}-{1}={k}{p} \) e poichè \( \displaystyle {m}_{{p}}\in{\left\lbrace{1},{2},\ldots,{p}-{1}\right\rbrace} \) resta solo \( \displaystyle {k}={0} \) come unica possibilità cioè \( \displaystyle {m}_{{p}}={1} \).

[Martino]

\( \displaystyle {m}={\sqrt[{{p}}]{{{k}{p}+{1}}}} \) ma essendo \( \displaystyle {m} \) un numero intero si ha che necessariamente deve essere \( \displaystyle {k}={0} \)

Questo va giustificato. Detto così non è neanche vero, per esempio l'uguaglianza è verificata se metti \( \displaystyle {p}={5} \), \( \displaystyle {m}={6} \) e \( \displaystyle {k}={1555} \).

Faccio solo un'osservazione su
\( \displaystyle \phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{{{m}}^{{2}}}} \).
In realtà avrei che \( \displaystyle \exists{m}_{{1}}\in{\left\lbrace{1},{2},\ldots,{p}-{1}\right\rbrace} \) tale che \( \displaystyle \phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{{m}_{{1}}}} \), poi \( \displaystyle \exists{m}_{{2}}\in{\left\lbrace{1},{2},\ldots,{p}-{1}\right\rbrace} \) tale che \( \displaystyle \phi_{{x}}{\left({{h}}^{{{m}_{{1}}}}\right)}={\left({{h}}^{{{m}_{{2}}}}\right)} \). In generale si avrebbe che \( \displaystyle \exists{m}_{{p}}\in{\left\lbrace{1},{2},\ldots,{p}-{1}\right\rbrace} \) tale che (\( \displaystyle {p} \) volte) \( \displaystyle \phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}\ldots\circ\phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{{m}_{{p}}}} \) da cui \( \displaystyle {m}_{{p}}-{1}={k}{p} \) e poichè \( \displaystyle {m}_{{p}}\in{\left\lbrace{1},{2},\ldots,{p}-{1}\right\rbrace} \) resta solo \( \displaystyle {k}={0} \) come unica possibilità cioè \( \displaystyle {m}_{{p}}={1} \).

Così hai dimostrato che \( \displaystyle {m}_{{p}}={1} \) ma devi arrivare a dedurre che \( \displaystyle {m}={1} \) (o comunque che \( \displaystyle {{h}}^{{m}}={h} \)), e secondo me devi usare il fatto che scegli \( \displaystyle {m}_{{p}}={{m}}^{{p}} \).

[deserto]

Forse ci sono: basta applicare il fatto che \( \displaystyle \phi_{{x}} \) è un omomorfismo. Quindi \( \displaystyle \phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}{\left({h}\right)}=\phi_{{x}}{\left(\phi_{{x}}{\left({h}\right)}\right)}=\phi_{{x}}{\left({{h}}^{{m}}\right)}=\phi_{{x}}{\left({h}\cdot{h}\cdot\ldots\cdot{h}\right)}=\phi_{{x}}{\left({h}\right)}\cdot\phi_{{x}}{\left({h}\right)}\cdot\ldots\cdot\phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{m}}\cdot{{h}}^{{m}}\cdot\ldots\cdot{{h}}^{{m}}={{h}}^{{{{m}}^{{2}}}} \). E si generalizza alla composizione di \( \displaystyle {p} \) omomorfismi \( \displaystyle \phi_{{x}} \).
Per l'altro discorso invece ho omesso di dire che non solo \( \displaystyle {m} \) è intero ma ha la limitazione $m in {1,2,...,p-1}.
Adesso spero che sia tutto a posto.

[Martino]

Forse ci sono: basta applicare il fatto che \( \displaystyle \phi_{{x}} \) è un omomorfismo. Quindi \( \displaystyle \phi_{{x}}\circ\phi_{{x}}{\left({h}\right)}=\phi_{{x}}{\left(\phi_{{x}}{\left({h}\right)}\right)}=\phi_{{x}}{\left({{h}}^{{m}}\right)}=\phi_{{x}}{\left({h}\cdot{h}\cdot\ldots\cdot{h}\right)}=\phi_{{x}}{\left({h}\right)}\cdot\phi_{{x}}{\left({h}\right)}\cdot\ldots\cdot\phi_{{x}}{\left({h}\right)}={{h}}^{{m}}\cdot{{h}}^{{m}}\cdot\ldots\cdot{{h}}^{{m}}={{h}}^{{{{m}}^{{2}}}} \). E si generalizza alla composizione di \( \displaystyle {p} \) omomorfismi \( \displaystyle \phi_{{x}} \).

Certo, e così arrivi a dire che \( \displaystyle {{m}}^{{p}}\equiv{1}\ \text{mod}{\left({p}\right)} \).

Per l'altro discorso invece ho omesso di dire che non solo \( \displaystyle {m} \) è intero ma ha la limitazione \( \displaystyle {m}\in{\left\lbrace{1},{2},\ldots,{p}-{1}\right\rbrace}.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{A}{d}{e}{s}{s}{o}{s}{p}{e}{r}{o}{c}{h}{e}{s}{i}{a}{t}{u}{\mathtt{{o}}}{a}{p}{o}{s}\to.\frac{\lt}{\div}\gt\frac{\lt}{{b}}{l}{o}{c}{k}{q}{u}{o}{t}{e}\gt{M}{a}{a}{n}{c}{\quad\text{or}\quad}{a}{n}{o}{n}{h}{a}{i}{s}\pi{e}{g{{a}}}\to{c}{o}{m}{e}{d}{a}{l}{f{{a}}}{\mathtt{{o}}}{c}{h}{e} \)p\( \displaystyle \div \)m^p-1\( \displaystyle {s}{e}{g{{u}}}{e}{c}{h}{e} \)m=1\( \displaystyle .{H}{a}{i}{c}{h}{e} \)0 le m=root(p)(kp+1)<p\( \displaystyle .{C}{o}{m}{e}{f{{a}}}{i}{a}{d}{e}{d}{u}{r}{r}{e}{c}{h}{e} \)m=1$? Naturalmente questa implicazione è vera, ma non l'hai dimostrata.