Sono a proporvi quanto segue.
Usando il seguente risultato:
Sia $G$ un gruppo finito e sia $H\neG$ un suo sottogruppo tale che $o(G)$ non divida $i(H)!$, allora $H$ contiene un sottogruppo normale non banale di $G$.
dimostrare che un gruppo di ordine $p^2$, dove $p$ è un numero primo, ha un sottogruppo normale di ordine $p$.
Dimostrare poi che in un gruppo di ordine $p^2$ ogni sottogruppo normale di ordine $p$ è contenuto nel centro del gruppo.
Infine dimostrare che un gruppo di ordine $p^2$ è abeliano.
Sia $G$ un gruppo di ordine $p^2$. Sia $H$ un suo sottogruppo. Per Lagrange si ha che $o(H)|o(G)$. Supponiamo che $o(H)=p$ e proviamo che $H$ è normale. Abbiamo che $H\neG$ e $o(G)=p^2$ non divide $i(H)! =(p^2/p)! =p!$ poichè $p$ non divide $(p-1)!$. Si ha così che $H$ deve contenere un sottogruppo normale non banale di $G$; poichè $o(H)=p$ è primo, $H$ è il sottogruppo normale cercato.
Il dubbio consiste nel fatto che ho dato per scontata l'esistenza del sottogruppo $H$ senza provarla: qualche idea in merito?
Verifico che $H sub Z(G)$.
Anche $Z(G)$ è un sottogruppo di $G$, pertanto per Lagrange si hanno le seguenti tre possibilità: o $o(Z(G))=1$ o $o(Z(G))=p$ o $o(Z(G))=p^2$. E' chiaro che se risultasse $o(Z(G))=p^2$ allora automaticamente sarebbe $G=Z(G)$ e quindi $G$ sarebbe abeliano e $H sub Z(G)$ Anche qui avrei bisogno di qualche suggerimento.
Vi ringrazio.