Sia \( \displaystyle G \) un gruppo finito che agisca transitivamente e fedelmente su un insieme \( \displaystyle \Omega \) anch'esso finito, con \( \displaystyle |\Omega| \geq 2 \) .
Chiamiamo "base" di tale azione un sottoinsieme \( \displaystyle \Gamma \) di \( \displaystyle \Omega \) tale che se un elemento \( \displaystyle g \in G \) fissa ogni elemento di \( \displaystyle \Gamma \) allora e' l'identita', e di cardinalita' minima con questa proprieta'. Denotiamo tale cardinalita' minima con \( \displaystyle b(G) \) .
Dato \( \displaystyle g \in G \) indichiamo con \( \displaystyle \text{supp}(g) \) l'insieme degli elementi di \( \displaystyle \Omega \) non fissati da \( \displaystyle g \) . Definiamo \( \displaystyle \mu(G) \) come il minimo dei \( \displaystyle |\text{supp}(g)| \) quando \( \displaystyle g \) varia in \( \displaystyle G-\{1\} \) .
1. Calcolare per esempio \( \displaystyle b(G) \) e \( \displaystyle \mu(G) \) quando \( \displaystyle G = C_n,\ S_n,\ A_n \) nell'azione naturale su \( \displaystyle \{1,...,n\} \) e di \( \displaystyle \text{GL}(m,q) \) nell'azione naturale su \( \displaystyle {\mathbb{F}_q}^m-\{0\} \) .
2. Date le notazioni di cui sopra dimostrare che \( \displaystyle \mu(G) \cdot b(G) \geq |\Omega| \) .
Fonte: esercizi di Martin Liebeck alla scuola estiva di teoria dei gruppi a Venezia. Conosco una soluzione.
Note: il primo punto e' standard, per fare il secondo bisogna avere qualche buona idea, ma non sono richieste nozioni particolari oltre a quelle esposte (e' richiesta solo un po' di confidenza con le azioni dei gruppi).