Se X è un insieme, sappiamo bene che possiamo identificare parti di X, P(X), ovvero l'insieme dei suoi sottoinsiemi, con l'insieme $A=\{0,1\}^X$, ovvero l'insieme delle funzioni da X a {0,1}. Ora, se dotiamo l'insieme {0,1} dell'usuale struttura di anello, esso diventa un campo (il ben conosciuto campo con due elementi), quindi A diventa un anello, con somma e prodotto componente per componente, e di più, grazie a quanto abbiamo già visto, la nozione di ideale primo coincide con quella di ideale massimale.
Esplicito meglio la corrispondenza biunivoca tra P(X) e A: dato S, sottoinsieme di X, costruisco la funzione $f_S:X \to F_2$ che manda x in 0 se $x \in S$, e in 1 altrimenti. Cosicché l'elemento 1 di A è identificato col vuoto, e l'elemento 0 con tutto X. Ad $f \in A$ associo $f^{-1}(0) \in P(X)$.
Con questa meravigliosa identificazione, possiamo tradurre in conticini algebrici tutte le relazioni tra gli insiemi. Innanzitutto ci convinciamo che per $a,b \in P(X)$ valgono le seguenti:
1) $X-a = a+1$
2) $a \cup b = a \cdot b$
3) $a \Delta b = 1+a+b$
4) $a \cap b = ab+a+b$
Di conseguenza le leggi di De Morgan, per esempio, diventano:
- Se $a,b \in P(X)$ allora $(1+a)(1+b)=1+a+b+ab$ (si tratta solo di sviluppare un prodotto!)
- Se $a,b \in P(X)$ allora $(1+a)+(1+b)+(1+a)(1+b)=1+ab$ (e anche qui, ricordando che P(X) ha caratteristica due!)
Allora possiamo tradurre in termini algebrici cose come topologie, algebre, filtri e ultrafiltri, ecc., e in termini insiemistici ideali e sottoanelli.
Ditemi voi se uno può dormire tranquillo quando esistono queste cose in giro
