Isomorfismo di gruppi tra $R$ e $R\times R$

[Lorenzo Pantieri]

Mi scuso per la domanda banale. Allora, naturalmente $R$ e $R\times R$ non sono isomorfi come anelli (il primo è un campo, il secondo non è neppure un dominio). Lo sono come gruppi additivi? Ho l'impressione di no, ma non riesco a dimostrarlo!

Grazie anticipate,
L.

[ViciousGoblin]

Non mi ricordo quasi nulla di gruppi e affini.
Ma non e' che $RR$ ha un solo generatore e $RR\times RR$ ne ha due ?

[Lorenzo Pantieri]

Non mi ricordo quasi nulla di gruppi e affini.
Ma non e' che $RR$ ha un solo generatore e $RR\times RR$ ne ha due ?

Non credo proprio che ci siamo: $R$ (come del resto $R\times R$) non è ciclico, quindi non possiede un generatore.

Ciao,
L.

[ViciousGoblin]

Non mi ricordo quasi nulla di gruppi e affini.
Ma non e' che $RR$ ha un solo generatore e $RR\times RR$ ne ha due ?

Non credo proprio che ci siamo: $R$ (come del resto $R\times R$) non è ciclico, quindi non possiede un generatore.

Ciao,
L.

Hai ragione scusa - ho sparato a caso pensando istintivamente alla struttura di spazio vettoriale.
Devo un po' trattenermi - in questo periodo rispondo compulsivamente a tutto
Riflettendoci meglio pero' (e seguendo la mia intuizione originaria) mi viene il dubbio che sia falso.

Supponiamo infatti che $(\phi_i)_{i\in I}$ sia una base per $RR$ come spazio vettoriale su $QQ$ ($I$ e' un insieme con la cardinalita' del continuo).
Allora $((\phi_i,0))_{i\in I}$ unito a $((0,\phi_i))_{i\in I}$ mi dovrebbe dare una base per $RR\times RR$.
Secondo me (con un po' di pazienza ...) e' possibile trovare una bigezione $h$ tra $I$ e $({1}\times I)\cup({2}\times I)$.
Se tale $h$ esiste mi pare si possa costruire un isomorfismo tra $RR$ e $RR\times RR$ come spazi vettoriali su $QQ$ (*) mandando ogni $\phi_i$ in $(\phi_j,0)$ se
$h(i)=(1,j)$ e in $(0,\phi_j)$ se $h(i)=(2,j)$. In particolare tale isomorfismo sarebbe un isomorfismo tra i gruppi additivi.

Puo' darsi che abbia scavolato di nuovo ----

(*) EDIT ho corretto mettendo $QQ$ al posto di $RR$

[Martino]

costruire un isomorfismo tra $RR$ e $RR\times RR$ come spazi vettoriali su $RR$

Forse intendevi su $QQ$..

Si mi pare che funzioni! Tu dici: la dimensione di $RR$ su $QQ$ e la dimensione di $RR xx RR$ su $QQ$ sono entrambe la cardinalita' del continuo, quindi $RR$ e $RR xx RR$ sono isomorfi come $QQ$-spazi vettoriali.

[ViciousGoblin]

costruire un isomorfismo tra $RR$ e $RR\times RR$ come spazi vettoriali su $RR$

Forse intendevi su $QQ$..

Si mi pare che funzioni! Tu dici: la dimensione di $RR$ su $QQ$ e la dimensione di $RR xx RR$ su $QQ$ sono entrambe la cardinalita' del continuo, quindi $RR$ e $RR xx RR$ sono isomorfi come $QQ$-spazi vettoriali.

Ho corretto l'errore. Grazie per la segnalazione.

In effetti come la dici tu suona piu' giusta - per quanto sorprendente.

Rimarrebbe la questione del fatto che la cardinalita' di $I\times{1,2}$ coincide con cardinalita' di $I$, cosa che sul momento non sapevo dimostrare, ma che ho appurato essere vera (anche qui mi pare c'entri l'assioma della scelta, come pure per l'esistenza della base)

[Lorenzo Pantieri]

Ciao, le idee espresse fin qui non mi convincono. Per esempio, fare riferimento ai concetti di "base" e "dimensione" quando si parla di gruppi non mi pare appropriato: nei gruppi (in generale) non ci sono basi (ma solo, eventualmente, generatori).

In ogni caso, ieri mi è venuta l'idea giusta (almeno credo!). Riporto una traccia di dimostrazione. Per dimostrare che $R$ e $R\times R$ non sono isomorfi come gruppi additivi, basta considerare come è fatto un generico morfismo $f$ di gruppi in partenza da $R$. Dal momento che $f$ deve preservare la somma, è facile provare che $f(n)=nf(1)$, con $n$ intero. Con qualche piccolissima difficoltà in più, si trova che $f(q)=qf(1)$, con $q$ razionale. A questo punto (ricordando che i reali sono coppie di classi contigue di razionali) si conclude che $f(a)=af(1)$, con $a$ reale. In altre parole, un morfismo di gruppi in partenza da $R$ è determinato univocamente una volta fissata l'immagine di $1$ (la stessa cosa capita per i morfismi in partenza da $Z$). Ora non è difficile provare che comunque si scelga $f(1)$ in $R\times R$, $f$ non può essere suriettiva.

Grazie mille per il vostro aiuto!

Ciao,
L.

[Martino]

Ciao, le idee espresse fin qui non mi convincono. Per esempio, fare riferimento ai concetti di "base" e "dimensione" quando si parla di gruppi non mi pare appropriato: nei gruppi (in generale) non ci sono basi (ma solo, eventualmente, generatori).

Ma non puoi negare che $RR$ e $RR xx RR$ sono spazi vettoriali su $QQ$. E se trovi un isomorfismo tra loro in quanto $QQ$-spazi vettoriali, esso e' anche un isomorfismo di gruppi additivi.
L'unico problema eventualmente e' che non so se dal fatto che esistano basi equipotenti si possa dedurre che i due spazi sono isomorfi, nel caso infinito dimensionale. Ma sarebbe strano se non fosse vero.

Per dimostrare che $R$ e $R\times R$ non sono isomorfi come gruppi additivi, basta considerare come è fatto un generico morfismo $f$ di gruppi in partenza da $R$. Dal momento che $f$ deve preservare la somma, è facile provare che $f(n)=nf(1)$, con $n$ intero. Con qualche piccolissima difficoltà in più, si trova che $f(q)=qf(1)$, con $q$ razionale. A questo punto (ricordando che i reali sono coppie di classi contigue di razionali) si conclude che $f(a)=af(1)$, con $a$ reale. In altre parole, un morfismo di gruppi in partenza da $R$ è determinato univocamente una volta fissata l'immagine di $1$ (la stessa cosa capita per i morfismi in partenza da $Z$). Ora non è difficile provare che comunque si scelga $f(1)$ in $R\times R$, $f$ non può essere suriettiva.

Si, questo potrebbe essere, ma per passare da $QQ$ a $RR$ non dovresti avere almeno che la $f$ e' continua?

Io ricordo che per mostrare che l'unico automorfismo di campi di $RR$ e' l'identita' si usa il fatto che un automorfismo $f$ di $RR$ ristretto a $QQ$ e' l'identita' (per i motivi che hai detto) e siccome $f(x^2)=f(x)^2$ la $f$ e' crescente, quindi puoi ragionare con le classi contigue e dedurre che $f=1$.

Ma se non hai ipotesi topologiche o moltiplicative come fai?

[rubik]

se due spazi vettoriali hanno basi equipotenti sullo stesso campo sono isomorfi:

$V$ con base ${e_i}_{i in I}$, $W$ con base ${f_i}_{i in I}$ l'isomorfismo è definito sulla base $F(e_i)=f_i$ e dovrebbe bastare

[Martino]

se due spazi vettoriali hanno basi equipotenti sullo stesso campo sono isomorfi:

$V$ con base ${e_i}_{i in I}$, $W$ con base ${f_i}_{i in I}$ l'isomorfismo è definito sulla base $F(e_i)=f_i$ e dovrebbe bastare

Sì infatti, ero dubbioso perché non ho mai studiato bene gli spazi infinito dimensionali, ma credo che tu abbia ragione.

A questo punto dovrebbe essere chiaro che la dimensione di $RR$ su $QQ$ non è numerabile, e questo dovrebbe bastare a dire che $RR cong RR xx RR$ per quanto detto.