Siano $f,g$ due funzioni definite in un intorno dell'origine della retta reale con $g$ mai nulla. Per ogni $L \in [-\infty, + \infty] $ e per ogni funzione $\rho$ non negativa, a supporto compatto con $\int_{\mathbb R} \rho = 1$ si ha
\[
\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = L \Rightarrow \lim_{r\to 0} \frac{\int_{\mathbb R}f(ry)\rho(y)dy}{\int_{\mathbb R}g(ry)\rho(y)dy}=L
\]
Anzitutto, io trovo che il testo sia vagamente impreciso: mi pare infatti che l'enunciato sia clamorosamente falso nel caso in cui il supporto di $rho$ sia disgiunto, ad esempio, dal dominio di $f$ (o sbaglio?).
Ad ogni modo, facendo finta che tutto "funzioni", come posso fare per provarlo?
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ecco alcune mie idee. Cominciamo dal caso $L$ finito, che mi pare il più difficile (gli altri dovrebbero essere semplici).
Scrivo quello che so: \( \displaystyle \forall \varepsilon > 0, \, \exists \delta >0: \, 0 < \vert x \vert < \delta \Rightarrow \left\vert \frac{f(x)}{g(x)} -L \right\vert <\varepsilon \) (per ogni $x$ per cui la cosa ha senso, ovviamente).
Voglio stimare \( \displaystyle \left\vert \frac{\int_{\mathbb R}f(ry)\rho(y)dy}{\int_{\mathbb R}g(ry)\rho(y)dy} -L \right\vert \le \frac{\int_{\mathbb R}\rho(y) \vert f(ry)-Lg(ry)\vert dy}{\vert \int_{\mathbb R}g(ry)\rho(y)dy \vert } \)
Ora quello che non mi piace è che non c'è uniformità... Dovrei dire che se $r<\frac{\delta}{y}$ allora \( \displaystyle \vert f(ry)-Lg(ry)\vert < \varepsilon\vert g(ry) \vert \) , ma poi?
Per evitare questi problemi di uniformità, ho pensato di cambiare variabile fin da subito ($x=ry$) ma questo non risolve comunque le cose (usando l'additività dell'integrale sistemerei solo il pezzo su $[0,delta]$). In più, in tutti i miei tentativi, non riesco a vedere dove usare le ipotesi su $rho$ (in particolare, che il suo integrale faccia 1).
Non sono riuscito a concludere molto altro: forse che c'è qualche passaggio al limite sotto il segno di integrale? Ho anche pensato a De L'Hopital, ma su $f$ e $g$ non so praticamente nulla...
Scrivo quello che so: \( \displaystyle \forall \varepsilon > 0, \, \exists \delta >0: \, 0 < \vert x \vert < \delta \Rightarrow \left\vert \frac{f(x)}{g(x)} -L \right\vert <\varepsilon \) (per ogni $x$ per cui la cosa ha senso, ovviamente).
Voglio stimare \( \displaystyle \left\vert \frac{\int_{\mathbb R}f(ry)\rho(y)dy}{\int_{\mathbb R}g(ry)\rho(y)dy} -L \right\vert \le \frac{\int_{\mathbb R}\rho(y) \vert f(ry)-Lg(ry)\vert dy}{\vert \int_{\mathbb R}g(ry)\rho(y)dy \vert } \)
Ora quello che non mi piace è che non c'è uniformità... Dovrei dire che se $r<\frac{\delta}{y}$ allora \( \displaystyle \vert f(ry)-Lg(ry)\vert < \varepsilon\vert g(ry) \vert \) , ma poi?
Per evitare questi problemi di uniformità, ho pensato di cambiare variabile fin da subito ($x=ry$) ma questo non risolve comunque le cose (usando l'additività dell'integrale sistemerei solo il pezzo su $[0,delta]$). In più, in tutti i miei tentativi, non riesco a vedere dove usare le ipotesi su $rho$ (in particolare, che il suo integrale faccia 1).
Non sono riuscito a concludere molto altro: forse che c'è qualche passaggio al limite sotto il segno di integrale? Ho anche pensato a De L'Hopital, ma su $f$ e $g$ non so praticamente nulla...
Che dite? Qualche idea, per piacere? Grazie
