Limiti (funzioni due variabili)

[Crisso]

ho serie difficoltà a capire come si calcola un limite di funzioni di più variabili, ho guardato la teoria, ma trovo solo la definzione di funzione continua in un punto e la definizione di limite...che sono simili a quelle di una funzione di una variabile...e mi sono chiare...quello che non riesco a capire sono gli esercizi...sia quando si tratta di verificare un limite...sia quando è da calcolare...riporto qui due esercizi svolti che ho cercato di capire da un libro in biblioteca

utilizzando la definzione di limite, verificare che
$ lim_((x,y) -> (0,0))x^4/(x^2+y^2) =0 $
SVOLGIMENTO
per mezzo della disuguaglianza $ x^4=x^2*x^2<=x^2(x^2+y^2) $ otteniamo $ |x^4/(x^2+y^2)|=x^4/(x^2+y^2)<=(x^2(x^2+y^2))/(x^2+y^2)=x^2<=x^2+y^2 $
perciò per ogni ε>0; posto δ=ε^1/2, si ha $ sqrt(x^2+y^2) $ <δ che implica $ |x^4/(x^2+y^2)-0| $ <ε

il secondo esercizio chiede di verificare il seguente limite
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^4-y^4)/(x^2+y^2)=0 $
SVOLGIMENTO
essendo $ |(x^4-y^4)/(x^2+y^2)|<=x^4/(x^2+y^2)+y^4/(x^2+y^2) $ si può procedere come nell'esempio precedente

non trovo la relazione che c'è tra i due svolgimenti...se perfavore qualcuno ha la pazienza di spiegarmi i ragionamenti da fare per arrivare a tali conclusioni (anche in termini non matematici, l'importante è che riesca a capire il meccanismo)

[squall]

ma quali metodi di risoluzione hai studiato..?
perchè per quanto riguarda il primo è una definizione;
il secondo è piuttosto semplice, si possono utilizzare le coordinate polari e si verifica facilmente.

[Crisso]

ho appena iniziato...(non ho potuto seguire il corso)...francamente non mi è proprio chiaro i metodi che si possono usare, questi sono i primi esercizi che mette il libro dopo la teoria...e si ho capito che usa la definizione di limite (lo scrive anche nel testo dell'esercizio di verificare tale limte tramite la definizione)...ma non capisco le disuguaglianze che ricava come le ricava...il secondo lo interrompe lì perchè dice che si verifica facilmente come il primo...quindi credo lo verifichi senza usare le coordinate polari (che cmq ancora non ho guardato)

[Crisso]

io posso capire che per molti di voi queste cose siano banali...ma la teoria che ho trovato parla solo di continuità e definzione formale di limite...
da quello che ho capito guardando esercizi vari in rete e sui libri esistono 3 metodi
1)metodo delle restrizioni
2)usare coordinate polari
3)Un altro metodo invece è quello di calcolare il limite secondo le diverse curve passanti per (x0,y0) (da wikipedia, che però sconsiglia)

ecco io non riesco a trovare un esercizio che spieghi i passaggi da fare...a seconda della tipologia lo svolge in uno di questi 3 modi...e sinceramente non mi è d'aiuto...dato che i passaggi spesso vengono anche saltati (quelli scontati, ma non scontati per me)...

[gugo82]

Crisso, mi sembra che tu abbia un po' di confusione in testa... La differenza tra usare la definizione per verificare un limite (già calcolato/assegnato) ed usare trucchi per il calcolo dei limiti dovresti averla appresa nel corso di Analisi I.

Insomma, la definizione di limite presuppone la conoscenza del candidato ad essere il limite e consente di verificare che quel candidato è effettivamente il limite; però essa non è costruttiva, nel senso che non consente in alcun modo di calcolare effettivamente il limite. Pertanto il problema del calcolo va affrontato seguendo altre strade.

Qui ti si sta chiedendo di verificare una relazione di limite, perciò devi mostrare che è valida la definizione di limite per quella data funzione e quel dato valore del limite.

In altre situazioni, invece, ti si chiede di calcolare un limite, ed è in questi casi che ti puoi servire delle tre tecniche (ma anche di molte altre) che citi.


P.S.: Per la verifica del secondo limite, perchè non ricordare che \( \displaystyle x^4-y^4=(x^2+y^2)(x^2-y^2) \) ?

[Crisso]

confusione in testa ce l'ho sicuramente...poi con i limiti ho sempre avuto difficoltà anche con una variabile...
ho capito che sono due cose differenti verificare un limite asegnato e calcolarne uno...ma siccome il libro parte dal verificare i limiti assegnati, ho immaginato fosse più semplice...il punto è che nonostante abbia la teoria davanti, con la definizione formale di limite...non mi è chiaro i passaggi che fà...ovvero
$ x^4=x^2*x^2<=x^2(x^2+y^2) $ perchè parte da questa considerazione, e da dove nasce ?
nel secondo esercizio che ho postato parte da un altra disequazione e poi dice di procedere come nel precedente...il mio grosso cruccio è che non vedo connessione con la definizione di limite...ovvero la vedo più avanti, ma non nelle disequazioni di partenza...

[gugo82]

La questione non è troppo complicata, ma se non te l'hanno spiegata per bene ad Analisi I è un po' difficile da recuperare così su due piedi. Allora...

Devi verificare che:

\( \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^4}{x^2+y^2} =0 \) ,

cioè che il numero \( \displaystyle l=0 \) gode della seguente proprietà:

\( \displaystyle \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2\setminus \{ (0,0)\},\ \sqrt{x^2+y^2}<\delta \ \Rightarrow\ \left| \frac{x^4}{x^2+y^2} \right| <\varepsilon \) .

Per procedere con la verifica, l'idea generale è questa.
Appena vedi una coppia di quantificatori \( \displaystyle \forall\ldots \exists \ldots : \) , ritieni che la variabile quantificata da \( \displaystyle \forall \) sia un parametro fissato in base al quale determinare quella quantificata da \( \displaystyle \exists \) (che è l'unica vera incognita del problema); poi, dopo i \( \displaystyle : \) , quando incontri una struttura del tipo \( \displaystyle \forall \ldots ,\ \ldots \Rightarrow \ldots \) , devi ritenere che la roba quantificata da \( \displaystyle \forall \) sia un gruppo di varibili fittizie (o ausiliarie, che dir ti piaccia di più) da usare per determinare la vera incognita (quella quantificata da \( \displaystyle \exists \) ) e che la determinazione di tale incognita si fa usando in qualche modo le relazioni a destra e sinistra di \( \displaystyle \Rightarrow \) .

In questo caso, è \( \displaystyle \delta \) la vera incognita da doversi determinare in funzione di \( \displaystyle \varepsilon \) e le \( \displaystyle (x,y) \) sono le variabili ausiliarie; il tuo compito è riuscire a tirare fuori una relazione del tipo \( \displaystyle \sqrt{x^2+y^2}<\text{qualcosa} \) chiedendoti "Ma quando è davvero possibile dire che \( \displaystyle \left| \frac{x^4}{x^2+y^2} \right| <\varepsilon \) ?".

Allora chiediamoci: quando è davvero possibile dire che \( \displaystyle \left| \frac{x^4}{x^2+y^2} \right| <\varepsilon \) ?
Beh, è possibile avere una relazione del genere se riusciamo a maggiorare il primo membro con qualcosa del tipo \( \displaystyle A(\sqrt{x^2+y^2}) \) (ove \( \displaystyle A(t) \) è una funzione "abbastanza semplice") che può a sua volta essere maggiorato con \( \displaystyle \varepsilon \) intorno a \( \displaystyle (0,0) \) : infatti se \( \displaystyle \left| \frac{x^4}{x^2+y^2} \right| \leq A(\sqrt{x^2+y^2}) \) e se \( \displaystyle A(\sqrt{x^2+y^2})<\varepsilon \) intorno a \( \displaystyle (0,0) \) è chiaro che la nostra disuguaglianza sarà verificata intorno a \( \displaystyle (0,0) \) .
La questione quindi si sposta sulla determinazione del maggiorante \( \displaystyle A(\sqrt{x^2+y^2}) \) intorno a \( \displaystyle (0,0) \) .
Ciò si può fare in molti modi (non c'è un'unica tecnica e molto è lasciato all'intuito ed alle conoscenze dello studente), uno di questi è quello suggerito dal tuo libro, ossia sfruttare la maggiorazione \( \displaystyle x^4=x^2\ x^2\leq x^2(x^2+y^2) \) : invero si ha:

\( \displaystyle \left| \frac{x^4}{x^2+y^2} \right| \leq \frac{x^2(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=x^2 \)

dappertutto; però ancora non siamo contenti, perchè il maggiorante non è del tipo che ci fa più comodo... Allora, ricordato che \( \displaystyle x^2\leq \big( \sqrt{x^2+y^2}\big)^2 \) , possiamo scrivere:

\( \displaystyle \left| \frac{x^4}{x^2+y^2} \right| \leq x^2\leq \left( \sqrt{x^2+y^2}\right)^2 \)

la disuguaglianza valendo sempre dappertutto; a questo punto, l'ultimo maggiorante è del tipo \( \displaystyle A(\sqrt{x^2+y^2}) \) con \( \displaystyle A(t)=t^2 \) .
Determinato il maggiorante più comodo, per finire, basta mostrare che una disuguaglianza del tipo \( \displaystyle A(\sqrt{x^2+y^2}) < \varepsilon \) è vera se è vera una disuguaglianza del tipo \( \displaystyle \sqrt{x^2+y^2} < a(\varepsilon) \) (con \( \displaystyle a(t) \) funzione definita almeno in un intorno destro di \( \displaystyle 0 \) ) e porre \( \displaystyle \delta = a (\varepsilon) \) .

Nel caso in esame, abbiamo \( \displaystyle (\sqrt{x^2+y^2})^2 < \varepsilon \) se e solo se \( \displaystyle \sqrt{x^2+y^2} < \sqrt{\varepsilon} \) ; visto che il secondo membro dell'ultima disuguaglianza è del tipo \( \displaystyle a(\varepsilon) \) possiamo dire di aver determinato la nostra vera incognita quando poniamo \( \displaystyle \delta =\sqrt{\varepsilon} \) .

[Crisso]

intanto ti ringrazio per la spiegazione che così dettagliata non potevo trovarla in nessun libro...comincio a capire il ragionamento da fare...
ma quando dici "ossia sfruttare la maggiorazione $ x^4=x^2*x^2<=x^2(x^2+y^2) $ "
la maggiorazione (perdona l'ignoranza) sarebbe il moltiplicare per $ x^2 $ l'elemento $ A(sqrt(x^2+y^2) ) $ con $ A(sqrt(x^2+y^2) )=(x^2+y^2) $
poi quando dici invero...capisco il comparire di $ (x^2+y^2) $ a dividere $ x^4 $ perchè sarebbe la nostra f(x,y) iniziale ma non capisco il suo comparire a dividere $ x^2(x^2+y^2) $

[Crisso]

il metodo delle restrizioni mi sembra molto semplice da applicare...ho trovato alcuni es. di limiti dove per $ (x,y)rarr (0,0) $ il limite è uguale a 0/0, quindi sarebbe indeterminato...
ad esempio la funzione
$ (xy^2)/(4x^2+y^4) $
con le restrizioni (x,0),(0,y) e y=x ottiene sempre il solito risultato...l'es. dice che per verificare che il limite valga 0 passa alle coordinate polari (ma non concludendo nessun risultato sospetta che il lim. sia diverso da 0)
allora fa pesare la y al denominatore quanto la x, cioè y=x^1/2 ottiene che il lim in questo caso vale 1/5, diverso dai risultati ottenuti precedentemente e che quindi il limite non esiste...
la conclusione mi è chiara...il fatto è che pur sembrandomi semplice questo metodo delle restrizioni...mi pare INGANNEVOLE da usare...ovvero...uno con 4-5 restrizioni potrebbe trovare che vale sempre 0...affermando che il limite vale 0...senza magari aver utilizzato la restrizione che negava tale risultato...
sono un pò in difficoltà...vorrei sapere quale metodo conviene usare quando $ (x,y)rarr (0,0) $

[squall]

il metodo delle restrizioni non è ingannevole, il trucco sta nel saperlo usare, ad esempio guarda la tua funzione:
se ti avvicini all'origine camminando sugli assi ottieni,come hai detto tu,che il limite vale zero.

ora è intuitivo dire che il metodo delle restrizione serve, più che altro, a verificare che un limite non esiste(questo perchè lo scopo di tale metodo è trovare un risultato del limite diverso dai precedenti) quindi il tuo scopo è trovare una linea sulla quale camminare per far saltare quel limite.

l'unico modo che hai per ottenere un risultato diverso da zero è cercare di lavorarti la y con una opportuna restrizione per ottenere un numeratore che sia di grado maggiore o uguale al denominatore cosi da poter semplificare e ottenere un risultato diverso da zero(su questo ragionaci perchè è importante per capire il tutto).

l'unica cosa di cui non sono sicuro e chiedo una mano a chi ne sa molto più di me è :per la restrizione y=x^1/2 occorre fare il limite a 0+ e a 0- perchè la radice quadrata è definita per l'argomento maggiore o uguale a zero oppure basta il risultato ottenuto da crisso?