\[
\lim_{\stackrel{(x,y) \to (a,a)} {x \ne y}} \frac{f(x)-f(y)}{x-y}
\]
esiste finito. Il valore del limite è indicato con $f^{\star}(a)$ ed è detto derivata forte di $f$.
Esercizio 1. Provare che se $f$ è derivabile in senso forte in $a$, allora $f$ è derivabile in $a$. Mostrare che il viceversa non è vero.
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Dim. Per ipotesi esiste
\[
\lim_{\stackrel{(x,y) \to (a,a)} {x \ne y}} \frac{f(x)-f(y)}{x-y} = f^{\star}(a).
\]
In particolare, il limite vale anche sulla restrizione $y=a$: quindi
\[
f'(a)=\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f^{\star}(a).
\]
Per il viceversa, consideriamo la solita
\[
x\mapsto
\begin{cases}
x^2\sin{\frac{1}{x}} & x \ne 0\\
0 & x=0
\end{cases}
\]
E' ben noto che $f$ è derivabile in $x=0$ e $f'(0)=0$. Tuttavia, il limite
\[
\lim_{\stackrel{(x,y) \to (0,0)} {x \ne y}} \frac{x\sin{\frac{1}{x}}-y\sin{\frac{1}{y}}}{x-y}
\]
non esiste: basta infatti considerare la restrizione lungo la parabola $y=x^2$, cioè
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x\sin{\frac{1}{x}}-x^2\sin{\frac{1}{x^2}}}{x-x^2}
\]
che appunto non esiste.
\[
\lim_{\stackrel{(x,y) \to (a,a)} {x \ne y}} \frac{f(x)-f(y)}{x-y} = f^{\star}(a).
\]
In particolare, il limite vale anche sulla restrizione $y=a$: quindi
\[
f'(a)=\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f^{\star}(a).
\]
Per il viceversa, consideriamo la solita
\[
x\mapsto
\begin{cases}
x^2\sin{\frac{1}{x}} & x \ne 0\\
0 & x=0
\end{cases}
\]
E' ben noto che $f$ è derivabile in $x=0$ e $f'(0)=0$. Tuttavia, il limite
\[
\lim_{\stackrel{(x,y) \to (0,0)} {x \ne y}} \frac{x\sin{\frac{1}{x}}-y\sin{\frac{1}{y}}}{x-y}
\]
non esiste: basta infatti considerare la restrizione lungo la parabola $y=x^2$, cioè
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x\sin{\frac{1}{x}}-x^2\sin{\frac{1}{x^2}}}{x-x^2}
\]
che appunto non esiste.
Alla luce del controesempio di sopra, è naturale aspettarsi il seguente
Esercizio 2. Data una funzione $f$ continua su $[a,b]\subset \RR$, le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1. $f$ è derivabile in senso forte su tutto $(a,b)$.
2. $f$ è derivabile con continuità su tutto $(a,b)$.
In altre parole, l'insieme delle funzioni derivabili in senso forte su $(a,b)$ coincide esattamente con $C^{1}(a,b)$.
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Dim.
$1 \Rightarrow 2$: sia $Q=[a,b]\times [a,b]$ e $Delta$ la diagonale. La funzione
\[
\begin{split}
\phi\colon & Q \setminus \Delta \to \mathbb R \\
& (x,y) \to \frac{f(x)-f(y)}{x-y}
\end{split}
\]
è continua ed è prolungabile con continuità sulla diagonale $\Delta$ per l'ipotesi. Tale prolungamento è esattamente la derivata di $f$ e risulta ovviamente una funzione continua (abbiamo esteso per continuità!).
$2 \Rightarrow 1$: dovrebbe essere una semplice applicazione del Teorema del Valor Medio: infatti, poiché $f$ è derivabile su $(a,b)$ ho che, fissato un sottointervallo $(x_1,x_2)$, esiste $xi \in (x_1,x_2)$ tale che
\[
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = f'(xi)
\]
Fissato un $x_0 \in [a,b]$, mandiamo $x_1,x_2 \to x_0$: per la continuità di $f'$ si ha
\[
\lim_{\stackrel{(x_1,x_2) \to (x_0,x_0)} {x_1 \ne x_2}} \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = f'(x_0)
\]
e quindi $f$ è derivabile in senso forte in $x_0$.
$1 \Rightarrow 2$: sia $Q=[a,b]\times [a,b]$ e $Delta$ la diagonale. La funzione
\[
\begin{split}
\phi\colon & Q \setminus \Delta \to \mathbb R \\
& (x,y) \to \frac{f(x)-f(y)}{x-y}
\end{split}
\]
è continua ed è prolungabile con continuità sulla diagonale $\Delta$ per l'ipotesi. Tale prolungamento è esattamente la derivata di $f$ e risulta ovviamente una funzione continua (abbiamo esteso per continuità!).
$2 \Rightarrow 1$: dovrebbe essere una semplice applicazione del Teorema del Valor Medio: infatti, poiché $f$ è derivabile su $(a,b)$ ho che, fissato un sottointervallo $(x_1,x_2)$, esiste $xi \in (x_1,x_2)$ tale che
\[
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = f'(xi)
\]
Fissato un $x_0 \in [a,b]$, mandiamo $x_1,x_2 \to x_0$: per la continuità di $f'$ si ha
\[
\lim_{\stackrel{(x_1,x_2) \to (x_0,x_0)} {x_1 \ne x_2}} \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = f'(x_0)
\]
e quindi $f$ è derivabile in senso forte in $x_0$.
Qualcuno ha voglia di darmi qualche conferma? Penso si tratti di un esercizio semplice (l'ho visto proposto in più salse: ad un'ammissione SISSA, sul Prodi I, su un libro inglese di esercizi), ma vorrei essere sicuro di non aver commesso scemenze. Grazie in anticipo!
