Maratona problemi teoria dei gruppi

[alvinlee88]

Se $G$ è un gruppo finito, dimostrare che esiste un intero positivo $n$ tale che $a^n=e$ per ogni $a inG$.
Questo è un esercizio proposto da Herstein subito dopo il primo paragrafo sui gruppi.
Ora, col teorema di Lagrange a disposizione, basta prendere $n=o(G)$. Ma come si può dimostrare sapendo, dei gruppi, solo la definizione, i lemmi sull'unicità del neutro e dell'inverso, le leggi di cancellazione, il fatto che $(a^-1)^-1=a$ e che $(ab)^-1=b^-1a^-1$?

[Tipper]

Ma come si può dimostrare sapendo, dei gruppi, solo la definizione, i lemmi sull'unicità del neutro e dell'inverso, le leggi di cancellazione, il fatto che $(a^-1)^-1=a$ e che $(ab)^-1=b^-1a^-1$?

Non sono un esperto del settore, ma ci provo.

Per l'unicità del neutro puoi supporre per assurdo che $u$ e $u'$ siano due elementi neutri distinti, allora

$a u = a = a u'$

da cui $a u = a u'$. Moltiplicando ambo i membri a sinistra per $a^{-1}$ e sfruttando la proprietà associativa si ottiene $u = u'$, un assurdo.

Per l'unicità dell'inverso io farei ugualmente, ovvero si suppone che, dato $a \in G$, siano $a_1$ e $a_2$ inversi di $a$, con $a_1 \ne a_2$. Allora

$a a_1 = a a_2$

da cui, moltiplicando a sinistra per $a_1$, e sfruttando la proprietà associativa, $a_1 = a_2$, un assurdo. Per le leggi di cancellazione idem.

Per quanto riguarda $(a^{-1})^{-1} = a$, basta osservare che $a^{-1} a = 1$. Analogamente $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ dato che $(ab) (b^{-1} a^{-1}) = 1$ (applicando opportunamente la proprietà associativa).

Quanto detto vale per unicità dell'elemento neutro a destra. unicità dell'inverso a destra, ..., ma il tutto si generalizza facilmente anche per quello a sinistra.

[alvinlee88]

Mi scuso per la poca chiarezza del mio post, e il post di Tipper è la conferma che ho scritto da cani.
Intendevo dire: Come si può risolvere l'esercizio seguente:

1) "Se $G$ è un gruppo finito, dimostrare che esiste un intero positivo $n$ tale che $a^n=e$ per ogni $a inG$".

avendo a disposizione solo i seguenti risultati:
-definizione di gruppo
-lemmi sull'unicità del neutro e dlel'inverso
-leggi di cancellazione
-per ogni $ain G$ $(a^-1)^-1=a$
-per ogni $a,b in G$, $(ab)^-1=b^-1a^-1$.
Questi risultati sono già dimostrati (non da dimostrare) e sono le uniche cose che si possono usare per dimostrare 1).
Quindi non si devono dimostrare questi lemmi preliminari, ma 1) usando solo questi.
E' più chiaro?

[Tipper]

Cosa intendi con $e$? Un generico elemento del gruppo?

[alvinlee88]

Pensavo fosse una convenzione che $e$ indicasse l'elemento neutro di un gruppo.

[Tipper]

Ok. Se $G$ è un gruppo di ordine $n \in \mathbb{N}$, allora

$G = \{g_1, g_2, \ldots, g_n\}$

Sia \( \displaystyle \langle g_i \rangle \) il gruppo ciclico generato da $g_i$, vale $o(g_i) | n$ per il th. di Lagrange sui gruppi. Sia $m = "mcm"(o(g_1), o(g_2), \ldots, o(g_n))$, allora $g_i^m = 1$ per $i = 1, 2, \ldots, n$.

[alvinlee88]

Senza offesa eh Tipper, ma leggi i miei post? Nel primo dico che con il toerema di Lagrange a disposizione l'esercizio diventa banale. Fra le cose che ho detto potersi usare, non compare nè la nozione di ordine, di sottogruppo generato, nè il teorema di Lagrange. Indi per cui non si possono usare per risolvere l'esercizio.
Il difficile sta nell'usare quel quasi niente a disposizione per risolvere l'esercizio. Non è colpa mia se Herstein piazza l'esercizio proprio all'inizio della teoria dei gruppi.

[Tipper]

Hai ragione, scusami. Sto con un occhio qui e uno su USA-Cina (in differita). Forse è meglio se mi cheto... Scusa se ti ho fatto perdere tempo...

[alvinlee88]

Tranquillo i tuoi post sono sempre ben accetti, ma ora goditi la partita che forse è meglio

[Dorian]

Mi scuso per la poca chiarezza del mio post, e il post di Tipper è la conferma che ho scritto da cani.
Intendevo dire: Come si può risolvere l'esercizio seguente:

1) "Se $G$ è un gruppo finito, dimostrare che esiste un intero positivo $n$ tale che $a^n=e$ per ogni $a inG$".

avendo a disposizione solo i seguenti risultati:
-definizione di gruppo
-lemmi sull'unicità del neutro e dlel'inverso
-leggi di cancellazione
-per ogni $ain G$ $(a^-1)^-1=a$
-per ogni $a,b in G$, $(ab)^-1=b^-1a^-1$.
Questi risultati sono già dimostrati (non da dimostrare) e sono le uniche cose che si possono usare per dimostrare 1).
Quindi non si devono dimostrare questi lemmi preliminari, ma 1) usando solo questi.
E' più chiaro?

Sia $G={e,a_1,a_2,...,a_n}$ gruppo rispetto all'operazione binaria $*$, cioè (tra le altre cose):

$a_i*a_j=a_k$, $AAi,j,k in {1,2,...,n}$

Preso un generico elemento di $G$ (diverso da $e$, sennò è banale) si considerino le potenze:

$a_i^m$,$AA m in NN$

poichè abbiamo un numero finito di elementi in $G$, si possono trovare 2 naturali $s$,$t$ tali che $a_i^s$=$a_i^t$ con $s!=t$ (*), quindi (supposto $s>t$):

$a_i^s=a_i^t =>a_i^t*a_i^(s-t)=a_i^t=>(a_i^t)^-1*a_i^t*a_i^(s-t)=(a_i^t)^-1*a_i^t$

e quindi, per l'associatività dell'operazione:

$a_i^(s-t)=e$

(*) Si tratta di un'ovvia osservazione...