Massimi e minimi con l Hessiana

[Hop Frog]

Dunque, utilizzando questo metodo:

http://www.dm.unito.it/personalpages/co ... ssiano.pdf

che cosa succede nel caso in cui la matrice Hessiana abbia determinante positivo ma nella diagonale ci sia un elemento nullo?
Questo significa che tra gli autovalori cisono vlaori positivi e nulli?
IN questo caso cosa siconclude per il punto studiato?

[mauro.bona]

Se il valore sulla diagonale è nullo, devi ricorrere al fatto che un punto stazionario è di minimo se l'hessiana è definita positiva, ovvero se ha entrambi gli autovalori positivi: nel caso di una matrice $ 2 xx 2 $ la verifica è semplice in quanto il polinomio caratteristico è di secondo grado, e le radici (che sono gli autovalori) si trovano facilmente. Analogamente un punto critico è di massimo se l'hessiana è definita negativa, ovvero se gli autovalori sono entrambi negativi. Nel caso non funzioni la verifica semplice, credo che questo sia il modo più veloce per determinare la natura del tuo punto critico. Spero di esserti stato utile

[Hop Frog]

e se con il calcolo degli autovalori trovo che ce ne sono sia dei positivi che dei nulli?

[mauro.bona]

Prima di rispondere alla seconda domanda faccio una precisazione sulla prima: pensandoci mi sono reso conto che se uno dei due valori sulla diagonale è nullo il determinante della matrice hessiana non potrà mai essere positivo; infatti bisogna ricordare che l'hessiana è simmetrica, ovvero della forma $ H = ( ( a , b ),( b , c ) ) $, questo significa che il suo determinante è $ ac-b^2 $. Il secondo termine è sempre positivo, nullo se $b=0$, quindi, se uno dei valori sulla diagonale è nullo, il determinante sarà o $0$ o negativo (in quanto vai a sottrarre a zero un valore $ >= 0 $ ), in ogni caso non può essere positivo. Tutto questo per dire che la tua prima domanda fa riferimento ad una situazione che non può capitare, ovvero quella di determinante positivo e contemporaneamente valore sulla diagonale nullo, e quindi il problema non si pone. Per quanto riguarda la seconda domanda devi ricordare un risultato di algebra lineare: il determinante di una matrice è il prodotto di tutti gli autovalori, quindi se il determinante è diverso da zero sicuramente non troverai autovalori uguali a zero.