Nomenclatura operatori in spazi di Hilbert

da **dissonance** » 25/05/2011, 19:02

Sia $(A, D(A))$ è un operatore lineare sullo spazio di Hilbert $H$ tale che esiste una costante $c>0$ per cui $A-cI ge 0$ (i.e. $(Au, u) ge c ||u||^2, u in H$). Come si chiamano di solito gli operatori con questa proprietà?

da **Fioravante Patrone** » 25/05/2011, 20:13

Coercitivo?

Vedi (forme bilineari coercitive):
http://web.math.unifi.it/users/magnanin ... m.disp.pdf

oppure:
ftp://ftp.aula.dimet.unige.it/Zolezzi/0 ... 20copy.pdf

da **ciampax** » 25/05/2011, 21:11

Io avrei detto coercivo.

da **Fioravante Patrone** » 25/05/2011, 21:22

ciampax ha scritto:Io avrei detto coercivo.

No, è un inglesismo (da "coercive"). In italiano di dice coercitivo (vecchia polemica... un esempio in http://www.electroyou.it/phpBB2/viewtop ... &sk=t&sd=a o ci si può consolare ad esempio con http://www.dm.unito.it/personalpages/za ... ialogo.pdf ).

Vedasi:
http://dizionari.corriere.it/dizionario ... cive.shtml

da **ciampax** » 25/05/2011, 21:24

Ok, mi fido!

da **dissonance** » 25/05/2011, 22:48

Grazie Fioravante! Tra l'altro, il dubbio sulla nomenclatura era poca roba rispetto alla diatriba "coerciva / coercitiva" su cui ero schierato a favore del primo partito ( :oops:

). Ma adesso cambierò casacca.

da **dissonance** » 01/06/2011, 18:46

Vorrei segnalare una notazione alternativa che ho trovato per casi come questo, e che mi sembra la migliore. Sul libro Topics in functional analysis di Kesavan un operatore $(A, D(A))$ su uno spazio di Hilbert $H$ tale che $(Au, u) \ge C ||u||^2$ per una costante $C > 0$ è detto $H$-ellittico.

da **gugo82** » 01/06/2011, 19:00

dissonance ha scritto:Sul libro Topics in functional analysis di Kesavan un operatore $(A, D(A))$ su uno spazio di Hilbert $H$ tale che $(Au, u) \ge C ||u||^2$ per una costante $C > 0$ è detto $H$-ellittico.

Notazione mutuata dalle PDE, ovviamente (anche perchè Kesavan questo fa di mestiere... Tra l'altro, è un matematico abbastanza noto in India).

Infatti, se ricordi, un operatore differenziale del secondo ordine $ \displaystyle \sum_{i,j=1}^N a_{i,j}(x)\ u_{x_ix_j}(x) $ è detto (uniformemente) ellittico in $ \displaystyle \Omega $ quando, per ogni punto $ \displaystyle x\in \Omega $ , la forma bilineare $ \displaystyle \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^N(\xi,\eta)\mapsto \sum_{i,j=1}^N a_{ij}(x)\xi_i\eta_j $ verifica la condizione $ \displaystyle \sum_{i,j=1}^N a_{ij}(x)\xi_i\xi_j\geq \theta |\xi|^2 $ per qualche $ \displaystyle \theta >0 $ .

da **dissonance** » 01/06/2011, 19:07

E questa tua osservazione fa scaturire naturalmente una domanda: sia $ \displaystyle \Omega $ un aperto di $ \displaystyle \mathbb{R}^N $ e consideriamo l'operatore

$ \displaystyle A=\sum_{i, j=1}^Na_{i, j}(x)\frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} $

definito su

$ \displaystyle D(A)=\mathcal{D}(\Omega) \subset L^2(\Omega) $

Domanda Le seguenti proprietà sono equivalenti?

1) $ \displaystyle A $ è $ \displaystyle L^2 $ -ellittico (nel senso di Kesavan);
2) $ \displaystyle A $ è uniformemente ellittico (nel senso di Gugo).

da **gugo82** » 02/06/2011, 00:14

A quanto ne so le due proprietà sono distinte.

Spiego un po' in spoiler.
Perdonami il post lungo, in cui probabilmente ripeterò cose che già sai.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Innanzitutto, qui si deve pensare all'operatore in forma debole... Quindi, per semplificare un po', prenderò in considerazione degli operatori differenziali più particolari, ossia quelli in forma di divergenza.

Un'operatore differenziale è detto in forma di divergenza se esso* si scrive $ \displaystyle -\text{div} \big( A(x)\cdot \text{D}u(x) \big) $ , ove $ \displaystyle A(x)=\big( a_{i,j}(x)\big) $ matrice a coefficienti in uno spazio funzionale abbastanza decente (ad esempio $ \displaystyle A\in C(\overline{\Omega} ;\mathbb{R}^{N\times N}) $ oppure anche $ \displaystyle A\in L^\infty (\Omega ;\mathbb{R}^{N\times N}) $ ) ed il $ \displaystyle \cdot $ denota il prodotto vettore-matrice.

Prendiamo il problema:

(*) $ \displaystyle \begin{cases} -\text{div} \big( A(x)\cdot \text{D}u\big) =f &\text{, in } \Omega\\ u=0 &\text{, su } \partial \Omega\end{cases} $ ,

con $ \displaystyle f $ in uno spazio funzionale decente (ad esempio $ \displaystyle f\in C(\Omega) $ oppure $ \displaystyle f\in L^2(\Omega) $ ), $ \displaystyle \Omega $ aperto limitato e con la frontiera abbastanza liscia e supponiamo che $ \displaystyle u $ sia una soluzione abbastanza buona del problema (ad esempio $ \displaystyle u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}) $ ).

La forma debole del problema si ottiene moltiplicando per una funzione test $ \displaystyle v \in C_0^\infty (\Omega) $ , integrando per parti (usando il teorema della divergenza) e poi allargando lo spazio in cui possono essere ricercate le soluzioni.
Abbiamo:

$ \displaystyle \int_\Omega -\text{div} \big( A(x)\cdot \text{D}u\big) v =\int_\Omega fv $

da cui:

$ \displaystyle \int_\Omega \langle A(x)\cdot \text{D} u,\text{D}v\rangle -\int_{\partial \Omega} v\ \frac{\partial u}{\partial \nu} =\int_\Omega fv $ ,

ed infine (giacché $ \displaystyle \phi=0 $ fino sul bordo di $ \displaystyle \Omega $ ):

(**) $ \displaystyle \int_\Omega \langle A(x)\cdot \text{D} u,\text{D}v\rangle =\int_\Omega fv $

che è la suddetta forma debole del problema di Dirichlet (*). Con argomenti di densità si vede che il primo ed il secondo membro hanno senso se $ \displaystyle u,v\in W_0^{1,2}=W_0^{1,2}(\Omega) $ , e quest'ultimo è uno spazio di Hilbert; posto:

$ \displaystyle \mathcal{A}[u,v]:=\int_\Omega \langle A(x)\cdot \text{D} u,\text{D}v\rangle $ ed $ \displaystyle Fv:=\int_\Omega fv $ ,

la $ \displaystyle \mathcal{A}[u,v] $ è una forma bilineare continua e la $ \displaystyle Fv $ è un funzionale lineare continuo su $ \displaystyle W_0^{1,2} $ ; la (**) si può leggere come segue: $ \displaystyle u \in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}) \subseteq W_0^{1,2} $ è una funzione che consente di rappresentare il funzionale $ \displaystyle F $ rispetto alla forma bilineare $ \displaystyle \mathcal{A} $ .

Se al posto del problema originario (*) consideriamo il problema debole (*) ambientato direttamente in $ \displaystyle W_0^{1,2} $ , possiamo provare l'esistenza di una $ \displaystyle u\in W_0^{1,2} $ che gode della suddetta proprietà di rappresentazione usando risultati di Analisi Funzionale negli spazi di Hilbert: data la struttura del problema, il teorema di Lax-Milgram sembra adatto allo scopo... Abbiamo un funzionale lineare continuo, abbiamo una forma bilineare pure continua, ergo l'unico tassello mancante è la coecitività (od $ \displaystyle H $ -ellitticità, per dirla con Kesavan) di $ \displaystyle \mathcal{A}[u,v] $ .
L'ipotesi di ellitticità sulla matrice $ \displaystyle A(x) $ , i.e. $ \displaystyle \langle A(x)\cdot \xi ,\xi\rangle =\sum_{i,j=1}^N a(x) \xi_i\xi_j\geq \theta |\xi|^2 $ garantisce che:

$ \displaystyle \mathcal{A}[u,u]=\int_\Omega \langle A(x)\cdot \text{D} u,\text{D} u\rangle $
$ \displaystyle \geq \theta \int_\Omega |\text{D} u|^2 $
$ \displaystyle =\theta \lVert \text{D} u\rVert_2^2 $ ;

per la disuguaglianza di Poincaré esiste una costante $ \displaystyle \gamma >0 $ tale che $ \displaystyle \lVert u\rVert_2\leq \gamma \lVert \text{D} u\rVert_2 $ , ergo:

$ \displaystyle \lVert u\rVert_{1,2}^2 :=\lVert u\lVert_2^2 +\lVert \text{D} u\rVert_2^2 \leq (1+\gamma^2) \lVert \text{D} u\rVert_2^2 $ ;

combinando questa disuguaglianza con la precedente si ottiene:

$ \displaystyle \mathcal{A}[u,u]\geq \frac{\theta}{1+\gamma^2}\ \lVert u\rVert_{1,2}^2 $

che è la coercitività di $ \displaystyle \mathcal{A} $ .
Il teorema di Lax-Milgram assicura che esiste un unico $ \displaystyle u\in W_0^{1,2} $ tale che $ \displaystyle \mathcal{A}[u,v]=Fv $ per ogni $ \displaystyle v\in W_0^{1,2} $ (e che tale $ \displaystyle u $ si ottiene come soluzione di un problema variazionale).
A questo punto, se voglio recuperare una soluzione classica, mi basta far vedere che la $ \displaystyle u $ , per il solo fatto di essere minimo di un funzionale, è più regolare di quanto la sola appartenenza a $ \displaystyle W_0^{1,2} $ lascerebbe supporre: questo si può fare se la matrice $ \displaystyle A $ , il termine noto $ \displaystyle f $ e la frontiera di $ \displaystyle \Omega $ sono sufficientemente buone (ad esempio $ \displaystyle A\in C^1(\Omega ;\mathbb{R}^{N\times N}) $ , $ \displaystyle f\in L^2(\Omega) $ e $ \displaystyle \partial \Omega $ è $ \displaystyle C^2 $ ).

Il senso di questo esempio è il seguente: la coecitività (o $ \displaystyle H $ -ellitticità) della forma bilineare $ \displaystyle \mathcal{A}[u,v] $ associata al problema di Dirichlet (*) non si riesce a recuperare unicamente dalla ellitticità della matrice $ \displaystyle A(x) $ , ma c'è bisogno anche di altro (una disuguaglianza tipo Poincaré, oppure di disuguaglianza tipo Cauchy con $ \displaystyle \varepsilon $ **).

__________
* Sarebbe meglio dire che la sua "parte principale" si scrive a quel modo... Ma la presenza di termini di ordine inferiore crea un po' di casini, quindi non considererò pezzi in più. :-D

** Se $ \displaystyle \varepsilon >0 $ , esiste una costante $ \displaystyle C(\varepsilon)>0 $ tale che:

$ \displaystyle \int_\Omega |\text{D} u|\ |u|\leq \varepsilon \int_\Omega |\text{D} u|^2 +C(\varepsilon) \int_\Omega |u|^2 $

per ogni $ \displaystyle u\in W_0^{1,2} $ .

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