Problema (ancora concorso di ammissione SISSA: prima o poi la smetto, lo prometto!). Sia $f:\RR^2 \to \RR$ di classe $C^1$ con la seguente proprietà: esiste $C \in [0;+\infty)$ tale che per ogni $(t, x) \in \RR^2$
\[
\left\vert \frac{\partial f}{\partial x} (t,x) \right\vert \le C
\]
Si supponga inoltre che ogni soluzione dell'equazione differenziale ordinaria $\dot{x}=f(t, x)$ sia periodica con lo stesso periodo $T > 0$. Si dimostri allora che, per ogni $x \in \RR$ fissato, la funzione $t\mapsto g_x(t):= f(t,x)$ è periodica con lo stesso periodo $T$.
La domanda questa volta riguarda il testo dell'esercizio: mi sta chiedendo di dimostrare che la derivata di una funzione periodica è ancora periodica?
Voglio dire: l'esistenza in grande segue subito dalla limitatezza della derivata prima rispetto a $x$ (che, come sappiamo, è sufficiente per la sublinearità). Ora per ipotesi $x(t+T)=x(t)$ per ogni $t$. Quindi
\[
g_x(t+T)=\dot{x}(t+T) = \lim_{h \to 0}\frac{x(t+T+h)-x(t+T)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x(t+h)-x(t)}{h}=\dot{x}(t)=g_x(t)
\]
che è la tesi.
Ma è giusto? Ho capito bene il testo? Mi sembra di averla fatta troppo semplice... grazie.