perchè meno per meno dà più?

Messaggioda cisufo » 14/08/2010, 07:09

Forse sarà banale, ma mi tormenta un dubbio su un concetto elementare dei primordi dell'algebra a livello di scuola secondaria: perchè $ - x - = +$? Ossia: la moltiplicazione è definibile come "un'addizione abbreviata", quindi fare 3 x 4 significa o contare 3 volte 4 cose o viceversa, ottenendo sempre 12. Se mettiamo un segno + significa: contare 3 volte 4 numeri positivi o viceversa. Anche + x - è ben comprensibile: non consederando il segno +, sommo un certo numero di volte i numeri negativi ottenendo quindi un numero negativo. Ma le "volte" in cui sommo possono essere "negative"? Non so se ho reso il concetto, ma la regola - x - = + non la so giustificare. Forse imposto male la cosa, ma, sembrerà banale, e me ne scuso, ma alla richiesta di una spiegazione compatibile con la definizione "elementare" di moltiplicazione, non mi viene in mente nulla (forse ho dimenticato ...). Qualcuno può gentilmente aiutarmi?
cisufo
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Messaggioda Feliciano » 14/08/2010, 10:13

Ciao non sapendo che scuola o facoltà frequenti oppure se è solo curiosità non so con che grado di approfondimento rispondere.
In ogni caso ti copio pari pari dei miei appunti del quinto anno del Liceo Scientifico (non ricordo se li ho scritti io o li copiai da qualche parte)

Conoscendo le proprietà delle operazioni + e x sull’insieme dei numeri relativi (un anello commutativo) possiamo dare una semplice dimostrazione delle quattro regole di moltiplicazione dei segni spesso presentate come definizioni o, peggio, convenzioni. Identificando i numeri relativi positivi con i numeri naturali, osserviamo che la definizione di prodotto incontrata in N ci porta a concludere che
(+) • (+) = (+) e proviamo a derivare da questa le altre regole di moltiplicazione per i segni.
1. Abbiamo dimostrato in precedenza che
$0 = a•0= a•[b+(–b)]= ab+a•(–b)$
quindi
$ab+a•(–b)=0$
cioè
a•(–b) = –ab
e quindi
(+) • (-) = (-)
2. In modo analogo risulta:
(–a)•b = –ab,
cioè
(-) • (+) = (-)
3. Consideriamo ora la seguente espressione:
[(-a) + (+a)] • (-b)
essendo [(-a) + (+a)] = 0, tutta l’espressione deve essere tutta uguale a 0 perché qualunque numero moltiplicato per zero diventa zero (lo abbiamo dimostrato per i numeri naturali, ma potremmo rifarlo allo stesso modo per i relativi), cioè
[(-a) + (+a)] • (-b) = 0
che per la proprietà distributiva diventa
[(-a) • (-b)] + [(+a) • (-b)] = 0
sappiamo già che l’espressione [(+a) • (-b)] = -ab perché dimostrato in precedenza, quindi
[(-a) • (-b)] + (-ab) = 0
ma l’esistenza del simmetrico ci garantisce che
[(-a) • (-b)] = ab
e quindi
(-) • (-) = (+)
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Messaggioda cisufo » 14/08/2010, 10:59

La dimostrazione è perfetta, ti ringrazio molto. Però è un po' complicato presentarla, ad esempio, a dei ragazzi di terza media, che in genere trattano l'algebra a livelli superficiali e per i quali le strutture (quali l'anello) vengono appena accennate. Pensavo quindi a qualcosa di più breve e semplice, perchè altrimenti le regole del prodotto dei segni restano per loro una specie di tabellina da mandar giù e basta, cosa didatticamente poco felice. Da anni, pur essendo laureato in matematica, mi occupo ormai di altro, ma ogni tanto mi vengono questi "dubbi". Ne potremo riparlare (convinto che la matematica sia soprattutto semplicità). Grazie ancora.
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Messaggioda cisufo » 14/08/2010, 12:06

In effetti dal punto 3 e sulla base della considerazione che la somma di 2 numeri relativi opposti è 0, applicando la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma e "distribuendo" un numero negativo, ne consegue una verifica immediata, fermo restando che + x - dà -. In pratica, mettendo numeri anzichè lettere, anche per il ragazzino si potrà dimostrare che - x - dà +.
Ok, mille grazie ancora, per me la questione è a posto!
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Messaggioda Luca.Lussardi » 15/08/2010, 10:13

Non si dimostra la regola dei segni; è una definizione. Sul fatto che sia così scelta invece che in altro modo è solo una questione di convenienza: il modo con cui è stata scelta è l'unico che permette di conservare le proprietà delle operazioni quando si passa da $\NN$ a $\ZZ$.
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Messaggioda Feliciano » 19/08/2010, 10:11

innanzitutt ho trovato il link da cui presi le note che ho scritto qualche giorno fa.
http://web.tiscali.it/pilosumateriali/M ... lativi.pdf

Poi se Luca dice che si tratta di definizione...definizione è sicuramente. Dalle mie parti si dice alzo le mani! (non ho trovato un'emoticon adatta)

Io credevo che le cose erano così:
definisco l'insieme dei numeri relativi in un cero modo
questi numeri godono di certe proprietà
quindi grazie a queste proprietà vale la regola dei segni
ed è quello che ho postato l'altro giorno

invece le cose dovrebbero stare così:
definisco i numeri relativi e dico che per definizione vale la regola dei segni
quindi faccio vedere che valgono certe proprietà.
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Messaggioda gugo82 » 19/08/2010, 11:28

In realtà la questionè è più profonda.

Ci sono almeno due modi di definire un anello ordinato.

Il primo è dire: nell'anello [tex]$(A,+,\cdot)$[/tex] ho definita una relazione d'ordine [tex]$\leq$[/tex] compatibile con le operazioni, nel senso che valgono le proprietà:

a. [tex]$\forall a,b,c,d \in A,\quad a\leq c \text{ e } b\leq d\ \Rightarrow\ a+b\leq c+d$[/tex];

b. [tex]$\forall a,b,c \in A,\quad a\leq b \text{ e } 0_A\leq c\ \Rightarrow\ a\cdot c\leq b\cdot c$[/tex].

Il secondo è dire: nell'anello [tex]$(A,+,\cdot)$[/tex] esiste una parte [tex]$P\subset A$[/tex] stabile rispetto alle operazioni e vale il principio di tricotomia, nel senso che:

A. [tex]$\forall a,b\in P,\quad a+b\in P \text{ e } a\cdot b \in P$[/tex];

B. la classe [tex]$\{ P,\{ 0_A\}, -P\} \subseteq \mathcal{P}(A)$[/tex] (ove [tex]$-P:=\{ -x, \text{ con $x\in P$}\}$[/tex]) è una partizione di [tex]$A$[/tex].

Tali due definizioni sono equivalenti; ciò si dimostra in una paginetta.

In entrambi gli scenari, la cosiddetta regola dei segni è un teorema, cioè si dimostra partendo dalla definizione.
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Messaggioda Martino » 19/08/2010, 11:37

Io mi affiderei alla teoria: qui, pagina 21 (punti 6.1.1, 6.1.2, 6.1.3).
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
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Messaggioda Luca.Lussardi » 20/08/2010, 18:53

Sì, sono tutte osservazioni corrette, ma sono tutti cani che si mordono la coda secondo me: perchè mai $\ZZ$ è un anello? proprio perchè si adotta la regola dei segni. Per questo secondo me è "sbagliato" dire che è una regola che si dimostra; è vero che si dimostra in un anello, ma non si dimostra per i numeri interi. Io per essa mi affido alla teoria degli insiemi ZF dentro la quale si costruisce $\NN$ e quindi $\ZZ$.
Luca Lussardi
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Messaggioda Martino » 20/08/2010, 20:13

Luca.Lussardi ha scritto:Sì, sono tutte osservazioni corrette, ma sono tutti cani che si mordono la coda secondo me: perchè mai $\ZZ$ è un anello? proprio perchè si adotta la regola dei segni. Per questo secondo me è "sbagliato" dire che è una regola che si dimostra; è vero che si dimostra in un anello, ma non si dimostra per i numeri interi. Io per essa mi affido alla teoria degli insiemi ZF dentro la quale si costruisce $\NN$ e quindi $\ZZ$.
Una volta definite le operazioni in [tex]\mathbb{Z}[/tex] la regola dei segni si dimostra. Definito [tex]\mathbb{Z}[/tex] come il quoziente [tex]\mathbb{N} \times \mathbb{N} / \sim[/tex] dove [tex](a,b) \sim (c,d)[/tex] se e solo se [tex]a+d=b+c[/tex] con le operazioni [tex](a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)[/tex] e [tex](a,b) \cdot (c,d) = (ac+bd,ad+bc)[/tex], indicato [tex](a,0)[/tex] con [tex]a[/tex] e [tex](0,a)[/tex] con [tex]-a[/tex] la regola dei segni segue facilmente. Infatti [tex](-1)(-a) = (0,1) \cdot (0,a) = (a,0) = a[/tex]. Non vedo problemi di interpretazione.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
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