piani e rette

Messaggioda cntrone » 31/05/2008, 18:25

Si riconosca che tre rette aventi a due a due un punto in comune, o giacciono in un
piano o passano per uno stesso punto.

allora io ho ragionato così..se hanno un punto in comune a due a due..significa anche che sono incidenti a due a due..ovvero stanno nello stesso piano..sempre a due a due..quindi potrebbero stare sullo stesso piano..

ma sinceramente non mi riesco a spiegare il secondo punto.. potete aiutarmi?? ciao
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Messaggioda adaBTTLS » 01/06/2008, 11:17

secondo me è più semplice partire dal secondo caso: se le tre rette passano per lo stesso punto dello spazio, allora sicuramente hanno a due a due un punto in comune (lo stesso). detto così, non è una dimostrazione di quello che dice il testo, ma forse serve a farti convincere della correttezza della proposizione da dimostrare. in realtà dovresti far vedere che questo è l'unico caso possibile tra quelli che verificano la tua ipotesi e non la prima parte della tesi (che cioè le rette siano complanari). quindi dovresti dire che, nel caso siano sghembe, se è vero che a due a due hanno un punto in comune, allora il punto in comune è necessariamente lo stesso per tutt'e tre. suggerimento: anche se le tre rette sono complanari, possono verificare l'ipotesi nel caso particolare che appartengano allo stesso fascio proprio di rette, però è anche possibile che si incontrino a due a due in tre punti distinti... due punti distinti individuano una e una sola retta nella geometria euclidea, tre punti distinti individuano uno ed un solo piano.... ciao.
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Messaggioda G.D. » 01/06/2008, 12:59

Provare che le tre rette sono complanari è banale: siano $r,s,t$ le tre rette e sia $A=r cap s$, $B=r cap t$, $C=s cap t$, con i tre punti distinti tra loro. Come postulato della geometria euclidea, si ha che per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano, quindi, detto $alpha$ il piano individuato da $A,B,C$, risulta: $A,B,C \in alpha$. Per due punti distinti di un piano passa una ed una sola retta (postulato di geometria euclidea): dacché$A,B,C \in alpha$ e $A=r cap s$, $B=r cap t$, $C=s cap t$, si conclude che $r,s,t \in alpha$.
Supponiamo ora che sia $A!=B=C$: risulta che $t!=r=s$, quindi le tre rette passano per uno stesso punto (perché due coincidono): le rette sono complanari.
Se risulta $A=B=C$, la tesi è banalmente vera.


EDIT.
Ediatato l'errore su prezioso suggerimento di adaBTTLS.
Ultima modifica di G.D. il 01/06/2008, 20:50, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda adaBTTLS » 01/06/2008, 16:23

WiZaRd scrive:
le tre rette passano per uno stesso punto (perché due coincidono) e questo non esclude che siano sghembe.
se due rette coincidono ed una terza le interseca in un punto, esse sono cpmplanari.... ciao.
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Messaggioda G.D. » 01/06/2008, 18:34

adaBTTLS ha scritto:
se due rette coincidono ed una terza le interseca in un punto, esse sono cpmplanari.... ciao.


Immagine

La retta $r$ appartiene al piano $\alpha$, le rette $s$ e $t$ coincidono e non appartengono al piano $\alpha$, dunque le tre rette non sono complanari.
$A$ è il punto di intersezione di $r$ con $s$ e con $t$ (dacché $s \equiv t$).
Coincidendno $s$ e $t$, queste sicuramente hanno almeno unn punto in comune.
Dunque, le tre rette sono tali per cui la loro intersezione è a due a due non vuota.
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Messaggioda adaBTTLS » 01/06/2008, 20:39

la retta r appartiene ad infiniti piani... uno di questi è ABC se chiamo B un punto di r distinto da A e C un punto di s distinto da A. non ti pare?
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Messaggioda G.D. » 01/06/2008, 20:48

Giustissimo. Errore mio. Chiedo scusa.
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Messaggioda adaBTTLS » 01/06/2008, 21:07

di nulla. in fondo il forum serve a confrontarci....
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