Polinomi e funzioni polinomiali

[Martino]

Un esercizio divertente per sbrogliarsi un po' tra polinomi e funzioni polinomiali!
Mi è venuta voglia di proporlo nel rispondere qui.

Sia \( \displaystyle K \) un campo, e sia \( \displaystyle K[X] \) l'anello dei polinomi a coefficienti in \( \displaystyle K \) . Per ogni \( \displaystyle P(X) \in K[X] \) sia \( \displaystyle f_P:K \to K \) la funzione definita da \( \displaystyle f_P(a) := P(a) \) . \( \displaystyle f_P \) si dice "funzione polinomiale associata a \( \displaystyle P \) ". Sia \( \displaystyle F = K^K \) l'insieme delle funzioni \( \displaystyle K \to K \) , e consideriamo la funzione \( \displaystyle \varphi: K[X] \to F \) definita da \( \displaystyle \varphi(P(X)) := f_P \) . Mostrare che:

(1) \( \displaystyle \varphi \) è iniettiva se e solo se \( \displaystyle K \) è infinito;
(2) \( \displaystyle \varphi \) è suriettiva se e solo se \( \displaystyle K \) è finito.

[agenog]

Provo a dare una risposta (dovrei essere il diretto interessato )

1) (a) Mostro che se φ è iniettiva allora K è infinito :

Se per assurdo K fosse finito avrei card(\(\displaystyle F \))=card(\(\displaystyle K^K \)) che sarebbe finita. I polinomi a coefficienti in un campo K sono infiniti e la funzione φ : K[x]-->F andrebbe da un insieme infinito ad uno finito. Dunque φ non potrebbe essere iniettiva! Assurdo.

(b) Mostro che se K è infinito allora φ è iniettiva:

Avendo K infinito ho card(\(\displaystyle F \))=card(\(\displaystyle K^K \))>= card(N) e φ va da un insieme infinito ad uno infinito. Ho che essendo K infinito la funzione polinomiale associata a P è biiettiva allora ma allora se ho φ(p(x))=φ(q(x)) --> p(x)=q(x) dunque φ è iniettiva!

[j18eos]

Di primo acchito mi sembra più un'argomentazione, ma potrei sbagliarmi!

[Martino]

Agenog, il punto (a) va bene ma il (b) non l'ho capito. Come fai a dire che se K è infinito la funzione polinomiale associata a P è biiettiva? E come fai da questo a concludere?

[agenog]

Sulla (b) ho fatto un po' confusione, Riprovo qui sotto dopo essermi tolto dei dubbi:

(b) Dimostro che se \(\displaystyle K \) è un campo infinito allora φ è iniettiva:

Essendo \(\displaystyle K \) un campo infinito vale il principio di identità dei polinomi. Quindi due polinomi \(\displaystyle P(x) \) e \(\displaystyle Q(x) \) a coefficienti in \(\displaystyle K \) campo infinito tali che \(\displaystyle P(x)= Q(x) \) $AA$ \(\displaystyle x \)$in$ \(\displaystyle K \) sono uguali. Ma allora se \(\displaystyle P(x) \) $!=$ \(\displaystyle Q(x) \) $=>$ \(\displaystyle φ(P(x))=f_p \) $!=$ \(\displaystyle φ(Q(x))=f_q \)
L' ultimo passaggio deriva dal fatto che a due polinomi diversi sono associate funzioni polinomiali diverse proprio per il fatto che vale il principio di identità dei polinomi

[Martino]

due polinomi \(\displaystyle P(x) \) e \(\displaystyle Q(x) \) a coefficienti in \(\displaystyle K \) campo infinito tali che \(\displaystyle P(x)= Q(x) \) $AA$ \(\displaystyle x \)$in$ \(\displaystyle K \) sono uguali.

Non per dire, ma è proprio questo che bisogna dimostrare

Il principio di identità dei polinomi non dice quello che sostieni, dice che due polinomi sono uguali se e solo se sono uguali i coefficienti associati ai rispettivi gradi. Il principio di identità dei polinomi non è altro che la definizione di polinomio: un polinomio è univocamente determinato dalla successione dei coefficienti associati ai rispettivi gradi.

[agenog]

e allora si ha:

φ inittiva significa: \(\displaystyle φ(P(x))= φ(Q(x)) \) $rArr$ \(\displaystyle P(x)=Q(x) \)

suppondo per assurdo che \(\displaystyle P(x) \) $!=$ \(\displaystyle Q(x) \)

Ora scelgo un' applicazione \(\displaystyle L(x)=P(x)-Q(x) \) $!=$ $0$

Avendo \(\displaystyle φ(P(x))= φ(Q(x)) \) ho che $AA$ $k$ $in$ $K$ \(\displaystyle φ(P(x))(k)= φ(Q(x))(k) \) ovvero \(\displaystyle P(k)=Q(k) \) $AA$ $k$ $in$ $K$
Ma allora ogni K è una radice di L(x) e quindi L(x) avrebbe infinite radici, ma questo è assurdo perchè le radice di un polinomio sono al massimo un numero pari al grado del polinomio stesso.

[agenog]

2) (a) se $φ$ è suriettiva allora K è finito non mi sembra vero.

Infatti a ogni funzione polinomiale c'è almeno una controimmagine ovvero il polinomio che ha gli stessi coefficienti.
(Ovviamente essendo $φ$ sempre suriettiva, la proposizione (b)"se K è finito allora $φ$ è suriettiva" è vera)

[Martino]

Ora il punto 1b va bene. Osserva che per dire che un polinomio ha al più tanti zeri quant'è il suo grado ti serve che \( \displaystyle K \) sia un campo (almeno un dominio). Per esempio \( \displaystyle X^2-X \) ha quattro zeri in \( \displaystyle \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) .

Giusto per esibire un esempio esplicito a proposito di 1a, osservo che i polinomi \( \displaystyle X^2+X \) e \( \displaystyle 0 \) sono diversi ma sul campo \( \displaystyle \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) le funzioni polinomiali associate sono le stesse.

2) (a) se $φ$ è suriettiva allora K è finito non mi sembra vero.

Infatti a ogni funzione polinomiale c'è almeno una controimmagine ovvero il polinomio che ha gli stessi coefficienti.

Osserva che il codominio di \( \displaystyle \varphi \) non è l'insieme delle funzioni polinomiali \( \displaystyle K \to K \) , è l'insieme di tutte le funzioni \( \displaystyle K \to K \) . Per esempio la funzione \( \displaystyle \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto \sin(x) \) non è una funzione polinomiale (ha infiniti zeri).