Circonferenza circoscritta a un triangolo

Messaggioda milizia96 » 16/02/2011, 20:29

Conoscete una formula per calcolare il raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo generico di lati a,b,c?

Grazie in anticipo.
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Messaggioda Nicole93 » 16/02/2011, 20:38

è una formula che si dimostra tramite la similitudine; detta S l'area del triangolo, il raggio della circonferenza circoscritta è:

$R=(a*b*c)/(4S)$
Non fatevi ingannare dallo pseudonimo:93 non è il mio anno di nascita né la mia età!
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Messaggioda milizia96 » 18/02/2011, 20:18

Nonostante mi stia spremendo le meningi da un po' di tempo non sto riuscendo a dimostrare la formula che mi hai dato.
Come si fa?
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Messaggioda Nicole93 » 18/02/2011, 20:35

appunto tramite la similitudine
la dimostrazione dovrebbe esserci in tutti i libri di testo, comunque non è molto difficile

Disegna il triangolo , chiamando $A,B,C$ i vertici opposti rispettivamente ai lati $a,b,c$, e la circonferenza circoscritta
Traccia l'altezza $AH$ relativa al lato $a$ e poi disegna il triangolo $ACD$, dove $AD$ è il diametro della circonferenza
I triangoli $ABH$ e $ACD$ sono simili in quanto sono entrambi rettangoli ed hanno $AhatBH=AhatDC$ in quanto angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco
Dunque puoi scrivere la proporzione:
$AB:AD=AH:AC$ e, sostituendo i loro valori:
$c:2R=h:b$

da qui ricavi . $R = (b*c)/(2h)$ o in modo equivalente, moltiplicando numeratore e denominatore per a:
$R= (a*b*c)/(2a*h)$ e , poichè $2a*h=4S$, ottieni la formula che ti ho scritto
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Messaggioda milizia96 » 19/02/2011, 14:26

capito; grazie per il disturbo.
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Messaggioda Nicole93 » 19/02/2011, 16:44

prego!
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Re:

Messaggioda Elena4 » 20/09/2012, 14:54

Nicole93 ha scritto:appunto tramite la similitudine
la dimostrazione dovrebbe esserci in tutti i libri di testo, comunque non è molto difficile

Disegna il triangolo , chiamando $A,B,C$ i vertici opposti rispettivamente ai lati $a,b,c$, e la circonferenza circoscritta
Traccia l'altezza $AH$ relativa al lato $a$ e poi disegna il triangolo $ACD$, dove $AD$ è il diametro della circonferenza
I triangoli $ABH$ e $ACD$ sono simili in quanto sono entrambi rettangoli ed hanno $AhatBH=AhatDC$ in quanto angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco
Dunque puoi scrivere la proporzione:
$AB:AD=AH:AC$ e, sostituendo i loro valori:
$c:2R=h:b$

da qui ricavi . $R = (b*c)/(2h)$ o in modo equivalente, moltiplicando numeratore e denominatore per a:
$R= (a*b*c)/(2a*h)$ e , poichè $2a*h=4S$, ottieni la formula che ti ho scritto


Questa dimostrazione però, se ho ben capito, è fatta considerando un triangolo isoscele... E' corretto?
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Re: Circonferenza circoscritta a un triangolo

Messaggioda @melia » 21/09/2012, 18:27

No, si riferisce ad un triangolo qualsiasi, sfruttando il fatto che angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco AC sono congruenti.
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Re: Circonferenza circoscritta a un triangolo

Messaggioda Elena4 » 22/09/2012, 09:18

Ora ho capito, grazie.. Avevo disegnato male la figura..
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