teorema di hall

[steven86]

qualcuno sa dirmi dove posso trovare una dimostrazione
rigorosa del teorema di Hall per i gruppi risolubili?
grazie mille per l'aiuto....

[Martino]

Ti riporto la dimostrazione qui sotto. Se conosci un po' la struttura dei sottogruppi normali minimali e il teorema di Schur-Zassenhaus ti dovrebbe risultare chiara.

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Sia $\pi$ un insieme di numeri primi. Un numero $n$ si dice un $\pi$-numero se ogni divisore primo di $n$ appartiene a $\pi$. Indichiamo con $\pi'$ l'insieme dei primi fuori da $\pi$. Sia $G$ un gruppo finito. Un sottogruppo $H$ di $G$ si dice un $\pi$-sottogruppo di Hall (o $\pi$-Hall) se $|H|$ è un $\pi$-numero e $|G:H|$ è un $\pi'$-numero.

Osservazione: in generale non esistono $\pi$-sottogruppi di Hall. Per esempio siano $G=A_5$, $\pi=\{3,5\}$. Allora un $\pi$-Hall $H$ di $G$ se esistesse avrebbe ordine $15$, cioè indice $4$. Ma siccome $G$ e' semplice, $H_G=\{1\}$ e quindi \( \displaystyle G=G/H_G \) si immergerebbe in $\Sym(\{Hg\ |\ g \in G\})=S_4$, assurdo dato che $|S_4|=24$.

Abbiamo invece un comportamento molto buono nel caso risolubile.

Teorema
Sia $G$ un gruppo risolubile finito, e sia $\pi$ un insieme di primi. Allora:
- $G$ contiene $\pi$-sottogruppi di Hall.
- Due qualsivoglia $\pi$-sottogruppi di Hall di $G$ sono coniugati.

Dimostrazione. Proviamo il primo punto per induzione sull'ordine di $G$. Sia $N$ un sottogruppo normale minimale di $G$. Allora dato che $G$ è risolubile, $N$ è un $p$-gruppo abeliano elementare per un opportuno primo $p$. Per ipotesi induttiva \( \displaystyle G/N \) contiene un $\pi$-sottogruppo di Hall \( \displaystyle H/N \) . Se $p \in \pi$ allora $H$ è un $\pi$-Hall di $G$; altrimenti $p \in \pi'$ e quindi per il teorema di Schur-Zassenhaus $N$ ha un complemento in $H$, sia esso $K$. Allora $|G:K|=|G:H| \cdot |N|$ è un $\pi'$-numero, quindi $K$ è un $\pi$-Hall di $G$.

Proviamo anche il secondo punto per induzione sull'ordine di $G$. Siano $H,K$ due $\pi$-Hall di $G$, e sia $N$ un sottogruppo normale minimale di $G$. Allora \( \displaystyle HN/N \) e \( \displaystyle KN/N \) sono $\pi$-Hall di \( \displaystyle G/N \) , quindi esiste $g \in G$ tale che \( \displaystyle (HN/N)=(KN/N)^g \) , da cui $HN=(KN)^g$. Come prima, $N$ è un $p$-gruppo. Se $p \in \pi$ allora $HN=H$ e $KN=K$, quindi abbiamo finito. Se $p \in \pi'$ allora \( \displaystyle HN=K^gN \) e $H,K^g$ sono complementi di $N$ in $HN$. Quindi per il teorema di Schur-Zassenhaus, $H$ e $K^g$ sono coniugati, e quindi anche $H$ e $K$ lo sono.

[steven86]

questa dimostrazione l'avevo già vista nelle tue dispense che hai lasciato in rete:)
il problema è che il mio prof l'ha fatta senza tener conto del teorema di Schur-Zassenhaus...
come posso fare????

[Martino]

Vuoi dire che non l'ha usato?

In questo caso non saprei come aiutarti, questa è l'unica dimostrazione che conosco.

Puoi provare a scriverla qui evidenziando i passaggi che non riesci a capire.

[steven86]

si esatto....l'ha fatto dopo il teorema di schur-zassenhaus...
ok ok...ora con calma li scrivo...
grazie mille!!!!

[Lemniscata]

Cito solamente, nel caso in cui potesse interessare, il libro su cui sto impazzendo da un mesetto, ovvero (manco a dirlo) il Robinson, A course in the theory of groups, Springer, collana Graduate Texts in Mathematics.

Robinson deriva il teorema come caso particolare di un teorema analogo sui gruppi $\pi$-separabili... solo che quasi alla fine della dimostrazione anche lui usa il teorema di Schur-Zassenhaus! Mi pare improbabile che si possa evitare di usarlo (ma è solo un parere mio, cioè di un ignorante... quindi tutto può essere).

[Leonardo89]

Aggiorno il topic.
Qui a L'Aquila, qualche giorno fa, abbiamo dimostrato il teorema di Hall senza far uso di Schur-Zassenhaus, usando solamente la teoria di Sylow, la teoria di base dei gruppi risolubili e l'argomento di Frattini.
La dimostrazione è tratta dal libro "Gruppi" di Antonio Machì, pagina 236 dell'edizione italiana del 2007.
Nel caso qualcuno se lo stia chiedendo questo libro è facilmente "reperibile".
Un elemento chiave usato nella dimostrazione è questo.

Sia $G$ un gruppo risolubile finito e sia $N$ un suo sottogruppo normale minimale. Allora $G$ è un $p$-gruppo abeliano elementare, cioè un $p$-gruppo abeliano nel quale tutti gli elementi hanno ordine $p$.

La dimostrazione procede per casi (se $p$ divide o meno la cardinalità del sottogruppo che si vuole trovare) ed è anche piuttosto lunga.

Dubito che steven86 sia ancora "sintonizzato" su questo topic però, forse, qualcuno potrebbe incappare in questo topic dal compendio di Martino.