Gruppo dei quaternioni

[francicko]

Mi chiedevo come mai i sottogruppi del gruppo dei quaternioni $Q_8$ sono tutti normali, ponendosi più in astratto, se consideriamo un gruppo $G$ ed indichiamo con $nnH_i$ il sottogruppo intersezione di tutti i sottogruppi di $G$,se comunque presi due generici sottogruppi di $G$, $X$, ed $Y$, e due generici elementi $x$$inX$ ed $yinY$, si ha che l'elemento della forma $xyx^-1y^-1in$ $nnH_i$,ciò implica che $xyx^-1inY$, ed $yx^-1y^-1inX$, deduco pertanto che certamente i sottogruppi di $G$ sono tutti normali in $G$. Adesso ritornando al gruppo dei quaternioni se $X$ ed $Y$ sono due generici sottogruppi di $Q_8$ , e sia $x$ $inX$, ed $yinY$, si ha $xy(y^-1x^-1)=1$, scambiando l'ordine del prodotto
$y^-1x^-1$, si ottiene un cambiamento di segno cioè $xy(x^-1y^-1)=-1$, ma $nnH_i=<-1>$, quindi tutti i sottogruppi risultano essere normali in $Q_8$, da qualche parte avevo letto che il gruppo dei quaternioni è il più piccolo gruppo non abeliano avente tutti i suoi sottogruppi normali, e che il motivo per cui i suoi sottogruppi sono normali risiede nel fatto
che l'intersezione dei suoi sottogruppi é diversa dall'elemento neutro, la prima affermazione mi é apparsa subito vera, mentre sulla seconda nutro dei dubbi,in quanto in base al ragionamento che ho postato il motivo sembrerebbe risiedere nel fatto che il sottogruppo $nnH_i$ in $Q_8$ contiene lelemento $-1$ se c'è qualcuno che può aiutarmi a chiarire le idee, lo ringrazio anticipatamente.
Saluti!

[francicko]

Resto in attesa di una risposta.

[Martino]

Non ho ben capito esattamente quali sono i tuoi dubbi, comunque ti dico alcune cose che penso possano esserti utili.

Un gruppo ogni cui sottogruppo è normale si dice gruppo di Dedekind. Un gruppo di Dedekind non abeliano si dice gruppo Hamiltoniano. I gruppi Hamiltoniani sono stati classificati, e si è scoperto che sono del tipo \( \displaystyle Q_8 \times P \) dove \( \displaystyle P \) è un gruppo abeliano periodico (cioè ogni cui elemento ha ordine finito) senza elementi di ordine 4 (sto leggendo qui). Vedi anche qui (wiki).

Consideriamo invece un gruppo \( \displaystyle G \) con la seguente proprietà:

(*) "l'intersezione dei suoi sottogruppi non banali è non banale".

Il teorema di Cauchy implica con immediatezza che un tale \( \displaystyle G \) dev'essere un \( \displaystyle p \) -gruppo (anche infinito) con un unico sottogruppo di ordine \( \displaystyle p \) , e come vedi da qui se \( \displaystyle G \) è finito allora risulta essere o ciclico o un "quaternione generalizzato" con \( \displaystyle p=2 \) . Sul caso infinito non mi esprimo, anche se dubito che possa occorrere.

Mi pare di poter interpretare la tua domanda così: "è vero che ogni gruppo con la proprietà (*) è un gruppo di Dedekind?". La risposta è no: la classificazione dei gruppi Hamiltoniani implica che l'unico gruppo Hamiltoniano con la proprietà (*) è \( \displaystyle Q_8 \) . Infatti se \( \displaystyle G=Q_8 \times P \) allora \( \displaystyle (Q_8 \times \{1\}) \cap (\{1\} \times P) = \{1\} \) .

[francicko]

Grazie per la delucidazione, interessante, comunque che nel gruppo dei quaternioni ogni sottogruppo risulti normale
non é dovuto al fatto che ogni elemento della forma $xyx^-1y^-1$ $in$$nnH_i$, dove con $nnH_i$ è indicato il sottogruppo intersezione di tutti i sottogruppi di $Q_8$?

[Martino]

Sì, quel fatto è sufficiente per dire che ogni sottogruppo è normale.

Detto col linguaggio classico, è così:

(A) Se un gruppo \( \displaystyle G \) è tale che \( \displaystyle G' \) (il sottogruppo derivato di \( \displaystyle G \) ) è contenuto in tutti i sottogruppi non banali di \( \displaystyle G \) allora ogni sottogruppo di \( \displaystyle G \) è normale.

Più in generale,

(B) detta \( \displaystyle N \) l'intersezione dei sottogruppi non banali di \( \displaystyle G \) (osserva "en passant" che \( \displaystyle N \unlhd G \) ), \( \displaystyle G \) è un gruppo di Dedekind se e solo se \( \displaystyle G/N \) lo è.

Infatti per il cosiddetto "teorema di corrispondenza" i sottogruppi normali non banali di \( \displaystyle G \) corrispondono biunivocamente e canonicamente ai sottogruppi normali di \( \displaystyle G/N \) . Questo dimostra (B).

E se \( \displaystyle G' \subseteq N \) allora il quoziente \( \displaystyle G/N \) è addirittura abeliano. Questo dimostra (A).