classificazione gruppo G=HK

[18Gigia18]

Ciao, ho un problema con il seguente esercizio:
Nel gruppo $ GL_2( CC ) $ si considerino i seguenti sottogruppi: $ H=< ( ( xi^2 , 0 ),( 0 , xi ) ) > $ , $ K=< ( ( 0 , xi^2i ),( xii , 0 ) ) > $ , dove $ xi $ è una radice primitiva cubica dell'unità.
In un punto mi dice di considerare il gruppo $ G=HK $ e di classificarlo.
Dunque $ |H|=3 $ , $ |K|=4 $ e $ H nn K= I_2 $ per cui: $|G|=|HK|=12$. Non è un gruppo abeliano e quindi l'unico gruppo che mi viene in mente che potrebbe essere isomorfo a questo è il gruppo diedrale di ordine 12 $ D_6$. Ma come faccio a provare che esiste l'isomorfismo?

[Gi8]

Anche il gruppo alterno $A_4$ è non abeliano e ha ordine $12$

[18Gigia18]

E' vero c'è anche $ A_4 $. E quindi come faccio a classificarlo? Cioè come faccio a trovare l'isomorfismo?

[18Gigia18]

C'è anche il gruppo $ ZZ _3 xx ZZ_4 $ che è di ordine 12 e non abeliano. Ma rimane sempre il problema: come si fa a capire chi è quello giusto?

[Gi8]

C'è anche il gruppo $ ZZ _3 xx ZZ_4 $ che è di ordine 12 e non abeliano.

A me sembra abeliano

Ma rimane sempre il problema: come si fa a capire chi è quello giusto?

Direi che $A_4$ si può escludere perchè non ha elementi di ordine $4$, mentre il nostro $HK$ ce ne ha.

Per il resto non mi viene in mente molto altro... Ci devo pensare un po' su.

[18Gigia18]

$ZZ_3 xx ZZ_4 $ non è abeliano e credo sia proprio questo il gruppo a cui $ G $ è isomorfo, in quanto credo possiamo escludere anche $ D_6$ perchè altrimenti $ G $ dovrebbe avere un elemento di periodo 6 (per soddisfare le identità del gruppo diedrale: $ D_6=< sigma , tau | sigma^6=id, tau^2=id, tau sigma tau^(-1)=sigma^(-1) > $ ) e ciò non accade.

[Gi8]

$ZZ_3 xx ZZ_4 $ non è abeliano

Se non è abeliano, dimmi due elementi che non commutano

[perplesso]

$ZZ_3 xx ZZ_4 $ non è abeliano

Da quando il prodotto diretto di gruppi abeliani non è abeliano? Anzi se non mi inganno è pure ciclico isomorfo a $Z_12$

altrimenti $ G $ dovrebbe avere un elemento di periodo 6 ...

Infatti... Poniamo $H=<x>$ e $K=<y>$. Come ha notato Gi8 si ha che $y^2=-I_2$ e quindi $xy^2=y^2x$, allora è chiaro che l'elemento $xy^2$ non ha periodo $3$ infatti $(xy^2)^3=x^3y^6=y^2$ e non ha periodo $4$ perchè $(xy^2)^4=x^4y^8=x$, pertanto ha periodo 6. Notate che il gruppo ha presentazione

G=HK=$<x,y|x^3=1=(y^2)^2,$ $(y^2)x(y^2)=x>$

che se non sbaglio è la presentazione di $D_3$ con $y^2$ al posto di $y$. Quindi io proporrei il gruppo $D_3 xx C_2$ ... Che dite?

Edit: no mi sa che non va, scusate...

[Martino]

Ciao! Chiamo $x = ( ( xi^2 , 0 ),( 0 , xi ) )$, $y = ( ( 0 , xi^2i ),( xii , 0 ) )$.

\( \displaystyle G \) non è isomorfo ad \( \displaystyle A_4 \) perché \( \displaystyle y^2 = -1 \in Z(G) \) mentre \( \displaystyle Z(A_4)=1 \) .

\( \displaystyle G \) non è isomorfo a \( \displaystyle D_{12} \) perché \( \displaystyle y^2 \) è l'unico elemento di ordine \( \displaystyle 2 \) di \( \displaystyle G \) (infatti essendo centrale è contenuto in tutti i 2-Sylow, essendo questi coniugati, e i 2-Sylow sono ciclici quindi hanno un solo elemento di ordine 2).

Siccome \( \displaystyle y^{-1}xy = x^{-1} \) , il gruppo \( \displaystyle G \) è il prodotto semidiretto \( \displaystyle H \rtimes K \) dove l'omomorfismo \( \displaystyle K \to \text{Aut}(H) \) è quello che manda \( \displaystyle y \) nell'inversione.

In altre parole \( \displaystyle G \) è l'unico prodotto semidiretto non diretto \( \displaystyle C_3 \rtimes C_4 \) . A quanto leggo (clic) questo gruppo è detto "diciclico". Anche questo è interessante.