Preparandosi alla NORMALE

[Steven]

Proprio quello che intendevo io, anche se la tua soluzione risulta + ''elegante''.

Naa.
Tutto fumo e niente arrosto.
La seconda è più intuitiva, era la prima cosa a cui dovevo pensare.

[simo90]

\( \displaystyle {2}{a}+{3}{b}\equiv{0}{\left(\text{mod}{11}\right)} \)

scusate potreste spiegarmi cosa significa questa scrittura qui sopra? (me ignorante) GRAZIE

[WiZaRd]

\( \displaystyle \alpha\equiv\beta{\left(\text{mod}\gamma\right)} \) significa che \( \displaystyle \alpha \) e \( \displaystyle \beta \) danno lo stesso resto nella divisone per \( \displaystyle \gamma \)

[simo90]

quindi in questo caso vuol dire che \( \displaystyle {2}{a}+{3}{b} \) diviso 11 dà come resto 0...ok credo di aver capito GRAZIE wizard

[angus89]

Ecco una nuova bestia!!! (anno accademico 1999/2000, quesito 1)

\( \displaystyle {{a}}^{{3}}+{2}{{b}}^{{3}}+{4}{{c}}^{{3}}={8}{a}{b}{c} \)

dimostrare che \( \displaystyle {a}={b}={c}={0} \)
con \( \displaystyle {a},{b},{c} \) razionali

Allora...voi divertitevi un pò e provate a risolverlo...qui di seguito propongo la mia soluzione(della quale ho dei seri dubbi)...voi postate pure le voste o correggete anche la mia...



LA MIA (POSSIBILE) SOLUZIONE
allora...se mi dice di dimostarere che \( \displaystyle {a}={b}={c}={0} \) vuol dire che non eistono altre soluzioni...
o per lo meno...probabilmente esistono ma osserviamo bene...dice "con \( \displaystyle {a},{b},{c} \) razionali...
allora cominciamo a riflettere bene...
\( \displaystyle {a},{b},{c} \) non possono essere irrazionali...

QUALCHE DEFINIZIONE(DA VERIFICARE)
1-Un numero irrazionale non può essere scritto come una frazione...
ad esempio \( \displaystyle {8} \) non è irrazionale poiche \( \displaystyle {8}=\frac{{16}}{{2}} \) oppure \( \displaystyle {7} \) non è irrazionale poichè \( \displaystyle {7}=\frac{{7}}{{1}} \)...
invece \( \displaystyle \sqrt{{{2}}}\ne\frac{{a}}{{b}} \) infatti è irrazionale...
2-Tutti i numeri che non sono quadrati perfetti hanno la radice quadrata irrazionale...
3-Tutti i numeri che non sono cubi perfetti hanno la radice cubica irrazionale...
4-Un numero irrazionale non è un numero razionale
5-Il prodotto di due o più numeri irrazionali è sempre un numero irrazionale a meno che il numero irrazionale non sia lo stesso(ovvero si considerano le potenze del numero irrazionale)...in tal caso è possibile(ma non certo) ottenere un numero razionale (es \( \displaystyle \sqrt{{{2}}}\cdot\sqrt{{{2}}}={2} \) che equivale a \( \displaystyle {\sqrt{{{2}}}}^{{2}}={2} \)

in base a quanto affermato riprendo il problema
\( \displaystyle {{a}}^{{3}}+{2}{{b}}^{{3}}+{4}{{c}}^{{3}}={8}{a}{b}{c} \)

PASSAGGI ALGEBRICI(almeno quelli non credo siano da verificare )
\( \displaystyle {a}={\sqrt[{{3}}]{{{2}}}}\cdot{\sqrt[{{3}}]{{{4}{a}{b}{c}-{{b}}^{{3}}-{2}{{c}}^{{3}}}}} \)
ovvero \( \displaystyle {a}={\sqrt[{{3}}]{{{2}}}}\cdot{n}_{{1}} \)

\( \displaystyle {b}=\frac{{1}}{{{\sqrt[{{3}}]{{{2}}}}}}\cdot{\sqrt[{{3}}]{{{8}{a}{b}{c}-{{a}}^{{3}}-{4}{{c}}^{{3}}}}} \)
ovvero \( \displaystyle {b}=\frac{{1}}{{{\sqrt[{{3}}]{{{2}}}}}}\cdot{n}_{{2}} \)

\( \displaystyle {c}=\frac{{1}}{{{\sqrt[{{3}}]{{{4}}}}}}\cdot{\sqrt[{{3}}]{{{8}{a}{b}{c}-{{a}}^{{3}}-{2}{{b}}^{{3}}}}} \)
ovvero \( \displaystyle {c}=\frac{{1}}{{{\sqrt[{{3}}]{{{4}}}}}}\cdot{n}_{{3}} \)

RICAPITOLIAMO
\( \displaystyle {a}={\sqrt[{{3}}]{{{2}}}}\cdot{n}_{{1}} \)[SPACE][SPACE]\( \displaystyle {b}=\frac{{1}}{{{\sqrt[{{3}}]{{{2}}}}}}\cdot{n}_{{2}} \) [SPACE][SPACE]\( \displaystyle {c}=\frac{{1}}{{{\sqrt[{{3}}]{{{4}}}}}}\cdot{n}_{{3}} \)


Tutti questi numeri non sono altro che il prodotto di numeri irrazionali e numeri che potrebbero anche essere razionali (\( \displaystyle {n}_{{n}}\)\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{Q}{u}\in{d}{i}{d}{i}{p}{e}{r}{s}è{s}{i}{p}{o}{t}{r}{e}{\mathbf{{e}}}{g{{i}}}à{c}{o}{n}{s}{i}{d}{e}{r}{a}{r}{e}{r}{i}{s}{o}\lt{o}{i}{l}{p}{r}{o}{b}\le{m}{a},{a}{m}{e}{n}{o}{c}{h}{e}{n}{o}{n}{r}{i}{s}{\underline{{t}}}{a}{e}{s}{s}{e}{r}{e}\lt{s}{p}{a}{n}{s}{t}{y}\le=\text{font-style: italic}\gt\in{o}{g{{n}}}{i}{c}{a}{s}{o}\frac{\lt}{{s}}{p}{a}{n}\gt \)n_n\( \displaystyle {u}{g{{u}}}{a}\le{a}{l}\nu{m}{e}{r}{o}{i}{r}{r}{a}{z}{i}{o}{n}{a}\le{p}{e}{r}{i}{l}{q}{u}{a}\leè{m}{o}\lt{i}{p}{l}{i}{c}{a}\to\ldots\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{A}{n}{d}{\quad\text{and}\quad}{o}{a}{v}{a}{n}{t}{i}{a}{n}{a}{l}{i}{z}{i}{o}{a}{m}{o}{i}{l}\prod{o}{\mathtt{{o}}}{d}{i} \)a,b\( \displaystyle {e} \)c\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)a*b*c=n_1*n_2*n_3*1/(\root{3}{4})$[SPACE]risultato ottenuto con con opportuni passaggi algebrici
quindi risulta che il prodotto è un numero irrazionale, quindi si ha un prodotto irrazionale solo se tra i numeri che si moltiplicano ce n'è almeno uno irrazionale...

spero che la mia dimostrazione sia almeno lontanamente sufficiente

fatemi sapere!

[fu^2]

nn mi pare sbagliata la tua soluzione...

propongo la mia, che non si dissocia troppo

\( \displaystyle {{a}}^{{3}}+{2}{{b}}^{{3}}+{4}{{c}}^{{3}}={8}{a}{b}{c} \)
si nota che una soluzione banale è \( \displaystyle {a}={b}={c}={0} \).
Dimostriamo che è l'unica \( \displaystyle \in\mathbb{Q} \)


chiamiamo \( \displaystyle {a}=\frac{{k}}{{h}} \), \( \displaystyle {b}=\frac{{w}}{{v}} \) e \( \displaystyle {c}=\frac{{m}}{{n}} \) in quanto son coefficienti razionali.

si ha quindi \( \displaystyle {{\left(\frac{{k}}{{h}}\right)}}^{{3}}+{2}{{\left(\frac{{w}}{{v}}\right)}}^{{3}}+{4}{{\left(\frac{{m}}{{n}}\right)}}^{{3}}={8}\frac{{{k}{w}{m}}}{{{h}{v}{n}}} \)

poniamo quindi \( \displaystyle {a},{b},{c}\ne{0} \) in quanto abbiamo già trovato quella soluzione e divertiamoci a girare i coefficenti

otteniamo quindi \( \displaystyle \frac{{{{k}}^{{2}}{v}{n}}}{{{{h}}^{{2}}{w}{m}}}+{2}\frac{{{{w}}^{{2}}{h}{n}}}{{{{v}}^{{2}}{k}{m}}}+{4}\frac{{{{m}}^{{2}}{k}{w}}}{{{{n}}^{{2}}{h}{v}}}={8}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)(kvn)/(hwm)(k/h+2w/v+4m/n)=8

riscrivendo i coefficienti a,b,c per capire meglio i calcoli otteniamo

\( \displaystyle {a}{b}{c}{\left({a}+{2}{b}+{4}{c}\right)}={8}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{q}{u}\in{d}{i}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)a^2bc+2b^2ac+4c^2ab-8=0\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\neg{a}{r}{e}{c}{h}{e}{t}{u}{\mathtt{{i}}}{i}{c}{o}{e}{f{{f{{i}}}}}{c}{i}{e}{n}{t}{i}{h}{a}\cap{o}{l}{a}{s}{t}{e}{s}{s}{a}{s}{t}{r}{u}{\mathtt{{u}}}{r}{a}{\left({c}{i}{o}è{u}{n}\quad{r}{a}\to{e}{g{{l}}}{i}{a}\lt{r}{i}{d}{u}{e}{c}{o}{e}{f{{f{{i}}}}}{c}{i}{e}{n}{t}{i}\right)}{q}{u}\in{d}{i}{m}{o}{s}{t}{r}{i}{a}{m}{o}{i}{l}{c}{a}{s}{o}{p}{e}{r} \)a\( \displaystyle {e}{a}{n}{a}{\log{{a}}}{m}{e}{n}{t}{e}è{l}{o}{s}{t}{e}{s}{s}{o}{p}{e}{r}{t}{u}{\mathtt{{i}}}{g{{l}}}{i}{a}\lt{r}{i}{2}.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{s}{t}{u}{d}{i}{a}{m}{o}{i}{l}{d}{i}{s}{c}{r}{i}\min{a}{n}{t}{e}\partial{l}'{e}{q}{u}{a}{z}{i}{o}\ne{d}{i}{\sec{{o}}}{n}{d}{o}\nabla{o}{\sec{{o}}}{n}{d}{o}{l}{a}{v}{a}{r}{i}{a}{b}{i}\le{a}: \)a^2bc+2a(b^2c+2c^2b)-8=0\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)Delta=(b^2c+2c^2b)^2+8bc=b^4c^2+4c^4b^2+4b^3c^3+8bc=cb(cb^3+4c^b+4b^2c^2+8)\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\neg{i}{a}{m}{o}{c}{h}{e}{q}{u}{e}{l}{l}{o}{c}{h}{e}{a}{\mathbf{{i}}}{a}{m}{o}{o}{\mathtt{{e}}}\nu\to{n}{o}{n}è{m}{a}{i}{u}{n}\quad{r}{a}\to{p}{e}{r}{f{{e}}}{\mathtt{{o}}},{q}{u}\in{d}{i} \)sqrt(Delta)!inQQ\( \displaystyle .\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{q}{u}\in{d}{i} \)a_(1,2)=(k+-sqrt(Delta))/h\( \displaystyle {c}{h}{e}{s}{a}{r}à{s}{e}{m}{p}{r}{e}{u}{n}\nu{m}{e}{r}{o}{i}{r}{r}{a}{z}{i}{o}{n}{a}\le.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{a}{l}{l}{o}{s}{t}{e}{s}{s}{o}\text{mod}{o}{s}{i}\dim{o}{s}{t}{r}{a}{c}{h}{e}{a}{n}{c}{h}{e}\le{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}{n}{i}{\sec{{o}}}{n}{d}{o}{b}{e}{c}{d}{a}\cap{o}{s}{e}{m}{p}{r}{e}\nu{m}{e}{r}{i}{i}{r}{r}{a}{z}{i}{o}{n}{a}{l}{i},{d}{a}{q}{u}{e}{s}\to{d}{e}{r}{i}{v}{a}{l}{a}{t}{s}{c}{h}{e}{l}'{u}{n}{i}{c}{a}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}\ne\in \)QQ\( \displaystyle è{d}{a}{t}{a}{d}{a} \)a=b=c=0$

è simile alla tua alla fine...

[angus89]

la mia potrebbe anche andare bene...ma ha parecchi punti deboli...la tua invece è più precisa...bella soluzione!
naturalmente si accettano sempre correzzioni e altre soluzioni

[Mega-X]

http://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 547#161547

cliccate qui per il post di angus, non ho messo tutto il testo per motivi si spazio..

rievoco questo post dall'oltretomba per dare una mia opnione e risoluzione..

secondo me il problema dice che bisogna esplicitare la \( \displaystyle {x} \) e la \( \displaystyle {y} \) con quelle relazioni che ci ha dato, ovvero che se i cateti diminuiscono di \( \displaystyle {k} \) l'area diminuisce di \( \displaystyle {{m}}^{{2}} \) (a proposito, \( \displaystyle {{m}}^{{2}} \) è, a mio avviso, solo un quadrato perfetto, niente di più..)

dunque partendo da dove è arrivato angus89 (ho aggiustato un pochino) abbiamo che \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}\gt{y}\\{d}={x}-{y}\\{{m}}^{{2}}=\frac{{k}}{{2}}{\left({2}{y}+{d}-{k}\right)}}\right.} \) con \( \displaystyle {d} \) e \( \displaystyle {k} \) noti (lo scegliamo noi il numero con cui far diminuire i cateti)

però messo così il sistema non è risolvibile perchè manca il termine \( \displaystyle {x} \), sapendo però che siamo in un triangolo rettangolo allora la somma dei cateti al quadrato è uguale all'ipotenusa al quadrato dunque \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}={{c}}^{{2}}\Rightarrow{{\left({y}+{d}\right)}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}={{c}}^{{2}}\Rightarrow{c}=\sqrt{{{2}{{y}}^{{2}}+{2}{\left.{d}{y}\right.}+{{d}}^{{2}}}} \), ora per trovare la \( \displaystyle {x} \) non dobbiamo far altro che calcolarcela come \( \displaystyle {x}={c}{\sin{\phi}} \) dove \( \displaystyle \phi={a}{r}{c}{t}{g{{\left(\frac{{x}}{{y}}\right)}}}={a}{r}{c}{t}{g{{\left(\frac{{{y}+{d}}}{{y}}\right)}}} \) dunque \( \displaystyle {x}={\sin{{\left({a}{r}{c}{t}{g{{\left(\frac{{{y}+{d}}}{{y}}\right)}}}\right)}}}\sqrt{{{2}{{y}}^{{2}}+{2}{\left.{d}{y}\right.}+{{d}}^{{2}}}} \)

dunque il sistema finale è (a meno di errori) \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}\gt{y}\\{d}={x}-{y}\\{{m}}^{{2}}=\frac{{k}}{{2}}{\left({2}{y}+{d}-{k}\right)}\\{x}={\sin{{\left({a}{r}{c}{t}{g{{\left(\frac{{{y}+{d}}}{{y}}\right)}}}\right)}}}\sqrt{{{2}{{y}}^{{2}}+{2}{\left.{d}{y}\right.}+{{d}}^{{2}}}}}\right.} \)

Come sono andato questa volta?

[spiritcrusher]

notiamo che quello che abbiamo ottenuto non è mai un quadrato perfetto

Una curiosità...perchè non è mai un quadrato perfetto?

[spiritcrusher]

Il prodotto di due o più numeri irrazionali è sempre un numero irrazionale a meno che il numero irrazionale non sia lo stesso(ovvero si considerano le potenze del numero irrazionale)...in tal caso è possibile(ma non certo) ottenere un numero razionale

Non sono convinto nemmeno su questo....per esempio \( \displaystyle {\left({6}\cdot\sqrt{{{2}}}\right)}\cdot\sqrt{{{2}}} \) oppure \( \displaystyle \sqrt{{{2}}}\cdot{\left({0},\frac{{3}}{\sqrt{{{2}}}}\right)} \) ...non sono lo stesso numero irrazionale ma ne danno uno razionale.


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