Preparandosi alla NORMALE

[fu^2]

la mia soluzione è molto (anzi direi uguale) simile a quella di Laura.

infatti anche io ho ragionato così

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

\( \displaystyle {n}+{53}={{p}}^{{2}}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)n-52=q^2

si ha che \( \displaystyle {{p}}^{{2}}-{{q}}^{{2}}={n}+{53}-{n}+{52}={105}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{q}{u}\in{d}{i}{s}{c}{o}{m}{p}{o}\ne{n}{d}{o}{s}{i}{o}{\mathtt{{i}}}{e}\ne \)(p-q)(p+q)=105
si sa che \( \displaystyle {105}={1}\cdot{3}\cdot{5}\cdot{7}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{q}{u}\in{d}{i}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)105=1*105
\( \displaystyle {105}={3}\cdot{35}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)105=5*21
\( \displaystyle {105}={7}\cdot{15}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{q}{u}\in{d}{i}{i}{s}{i}{s}{t}{e}{m}{i}{d}{a}{r}{i}{s}{o}{l}{v}{e}{r}{e}{s}{o}{n}{o}{q}{u}{a}{\mathtt{{r}}}{o}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \){(p-q=1),(p+q=105):}
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{p}-{q}={3}\\{p}+{q}={35}}\right.}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \){(p-q=5),(p+q=21):}
${(p-q=7),(p+q=15):}

e quindi quattro saranno le soluoni, dando per scontato che i sistemi sono determinati.

il problema è che i calcoli sono tanti e lunghi... speravo di trovare una soluzione meno "calcolosa" va beh...

edit: klarence leggendo la tua ultima frase sembra che hai trovato modo di fare i calcoli in modo veloce, sbaglio? nel caso come hai fatto?

ps bella la tua soluzione!

I sistemi non li devi risolvere completamente, ti basta sommare le 2 equazioni e trovare solo p o solo q; di conseguenza ricavi n.
P.S. si vede che i sistemi sono determinati.

giusto!

[klarence]

Tratto dal test della normale di quest'anno:
-posto che \( \displaystyle {2}{a}+{3}{b} \) è divisibile per \( \displaystyle {11} \), mostrare che \( \displaystyle {{a}}^{{2}}-{5}{{b}}^{{2}} \) è divisibile per \( \displaystyle {11} \)

p.s. importantissimo: \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) sono numeri interi

[Steven]

Si ha per ipotesi
\( \displaystyle {2}{a}+{3}{b}\equiv{0}{\left(\text{mod}{11}\right)} \)
Per ovvi motivi risulterà vera anche
\( \displaystyle {\left({2}{a}+{3}{b}\right)}{\left({2}{a}-{3}{b}\right)}\equiv{0}{\left(\text{mod}{11}\right)} \)
Sviluppando
\( \displaystyle {4}{{a}}^{{2}}-{9}{{b}}^{{2}}\equiv{0}{\left(\text{mod}{11}\right)} \)
Moltiplichiamo per tre
\( \displaystyle {12}{{a}}^{{2}}-{27}{{b}}^{{2}}\equiv{0}{\left(\text{mod}{11}\right)} \) (1)
e poichè è sicuramente vera
\( \displaystyle {11}{{a}}^{{2}}-{22}{{b}}^{{2}}\equiv{0}{\left(\text{mod}{11}\right)} \) (2)
Possiamo sottrarre la (1) con la (2) e ottenere la tesi
\( \displaystyle {{a}}^{{2}}-{5}{{b}}^{{2}}\equiv{0}{\left(\text{mod}{11}\right)} \)

[klarence]

Si ha per ipotesi
\( \displaystyle {2}{a}+{3}{b}\equiv{0}{\left(\text{mod}{11}\right)} \)
Per ovvi motivi risulterà vera anche
\( \displaystyle {\left({2}{a}+{3}{b}\right)}{\left({2}{a}-{3}{b}\right)}\equiv{0}{\left(\text{mod}{11}\right)} \)
Sviluppando
\( \displaystyle {4}{{a}}^{{2}}-{9}{{b}}^{{2}}\equiv{0}{\left(\text{mod}{11}\right)} \)
Moltiplichiamo per tre
\( \displaystyle {12}{{a}}^{{2}}-{27}{{b}}^{{2}}\equiv{0}{\left(\text{mod}{11}\right)} \) (1)
e poichè è sicuramente vera
\( \displaystyle {11}{{a}}^{{2}}-{22}{{b}}^{{2}}\equiv{0}{\left(\text{mod}{11}\right)} \) (2)
Possiamo sottrarre la (1) con la (2) e ottenere la tesi
\( \displaystyle {{a}}^{{2}}-{5}{{b}}^{{2}}\equiv{0}{\left(\text{mod}{11}\right)} \)

Penso vada bene, ma c'è anche un'altra strada completamente diversa.

[Steven]

Puoi dirmi almeno la tipologia?
Cosa sfrutta? criteri di divisibilità, algebra, ecc...

ps: era un problema a se stante, o un "sotto problema"? Dimmi anche che numero era

[klarence]

Puoi dirmi almeno la tipologia?
Cosa sfrutta? criteri di divisibilità, algebra, ecc...

ps: era un problema a se stante, o un "sotto problema"? Dimmi anche che numero era

Le domande che mi hai fatto a cosa si riferiscono?

Il problema che ho proposto era l'ultimo, il numero 5, ed era un problema a se stante.

[Steven]

Mi riferisco alla soluzione alternativa a cui alludevi.
Su cosa si fonda?

Mi pare di aver capito che sei andato a Pisa. Come ti è andata?

[klarence]

Mi riferisco alla soluzione alternativa a cui alludevi.
Su cosa si fonda?

Mi pare di aver capito che sei andato a Pisa. Come ti è andata?

Diciamo che sfrutta per lo più l'algebra (pensa alle scomposizioni).
Però anzichè partire dalla relazione certa , cioè \( \displaystyle {2}{a}+{3}{b} \) , parti da \( \displaystyle {{a}}^{{2}}-{5}{{b}}^{{2}} \) e dimostra, sfruttando la prima relazione, che il numero che verrà deve essere necessariamente divisibile per 11.

p.s. si sono andato a Pisa. Matematica penso sia andata bene, ma Fisica è stata un disastro (vorrei vedere la faccia che il professore farà quando leggerà il mio compito...) .

p.p.s. rileggi il mio primo post, quello della traccia, ho aggiunto una ipotesi importante.

[Steven]

Da
\( \displaystyle {2}{a}+{3}{b}={11}{k} \)
discende
\( \displaystyle {a}={\frac{{{11}{k}-{3}{b}}}{{{2}}}} \)
Pertanto risulta
\( \displaystyle {{a}}^{{2}}-{5}{{b}}^{{2}}={\frac{{{{\left({11}{k}-{3}{b}\right)}}^{{2}}}}{{{4}}}}-{5}{{b}}^{{2}}={\frac{{{121}{{k}}^{{2}}+{9}{{b}}^{{2}}-{66}{b}{k}}}{{{4}}}}-{5}{{b}}^{{2}}={\frac{{{121}{{k}}^{{2}}+{9}{{b}}^{{2}}-{66}{b}{k}-{20}{{b}}^{{2}}}}{{{4}}}}={11}\cdot{\frac{{{11}{{k}}^{{2}}-{{b}}^{{2}}-{6}{b}{k}}}{{{4}}}} \)

[klarence]

Da
\( \displaystyle {2}{a}+{3}{b}={11}{k} \)
discende
\( \displaystyle {a}={\frac{{{11}{k}-{3}{b}}}{{{2}}}} \)
Pertanto risulta
\( \displaystyle {{a}}^{{2}}-{5}{{b}}^{{2}}={\frac{{{{\left({11}{k}-{3}{b}\right)}}^{{2}}}}{{{4}}}}-{5}{{b}}^{{2}}={\frac{{{121}{{k}}^{{2}}+{9}{{b}}^{{2}}-{66}{b}{k}}}{{{4}}}}-{5}{{b}}^{{2}}={\frac{{{121}{{k}}^{{2}}+{9}{{b}}^{{2}}-{66}{b}{k}-{20}{{b}}^{{2}}}}{{{4}}}}={11}\cdot{\frac{{{11}{{k}}^{{2}}-{{b}}^{{2}}-{6}{b}{k}}}{{{4}}}} \)

Proprio quello che intendevo io, anche se la tua soluzione risulta + ''elegante''.