Problema isomorfismo tra gruppi

[Obionekenobi]

Che vuol dire trovare un gruppo a meno di un isomorfismo? Poi c'è un teorema che mi risolve la seguente questione: "fissato un intero n > 0, possiamo considerare un gruppo con n elementi: ma quanti ce ne sono a meno di un isomorfismo"? Grazie in anticipo.

[Lorin]

Secondo me dipende dalla struttura del gruppo. Ad esempio se il gruppo è ciclico di ordine $p$ primo, allora ne esiste uno solo (per il teorema di classificazione dei gruppi ciclici finiti) e cioè $ZZ_p$

[mistake89]

Vuol dire che esistono dei gruppi "modello" ai quali potersi ricondurre. Ricondursi mediante isomorfismo ad un gruppo modello (già studiato) equivale a sapere tutto del gruppo considerato, in quanto l'isomorfismo "copia" le proprietà.

Considera che un gruppo è un insieme (quindi dentro ci potresti mettere tutto quello che vuoi). Quindi potresti definire un gruppo con l'identita, la sedia, il tavolo e lo sgabello. Imponi che sia abeliano e che sedia*tavolo=sgabello, sgabello*sedia=tavolo, tavolo*sgabello=sedia e che ognuno di loro sia inverso di loro stessi.
Abbiamo un gruppo. E alla fine scopri che questo gruppo è isomorfo a $ZZ_2 \times ZZ_2$.

Non so se sono riuscito a spiegarmi però

Quanto al tuo secondo quesito credo che la risposta non sia affatto semplice. Per i gruppi abeliani è molto semplice, per quelli non abeliano è decisamente difficile invece.

[Obionekenobi]

Grazie

[Obionekenobi]

Ma quindi alla mia domanda si può rispondere per gruppi ciclici, abeliani e gruppi semplici finiti?

[mistake89]

Il tuo è un problema di classificazione di cui francamente non so molto.
Per i gruppi abeliani c'è un teorema molto potente che permette di classificarli in maniera abbastanza agevole.
Per i gruppi finiti io conosco classificazione fino all'ordine $15$, oltre conosco solo casi vari. Ma considera che non è un problema facile questo.

Esistono alcuni teoremi che ti aiutano in questo (ad esempio se l'ordine è primo allora il gruppo è ciclico, se l'ordine è $p^2$ allora $G$ è abeliano - e quindi in base al teorema che ti ho accennato prima possiamo dire quanti sono-) ma non credo esista un criterio "meccanico" per stabilirlo.

Ma spero che qualcuno che ne sa più di me passi di qui per aggiungere qualcosa, che anche io sono curioso!

[Obionekenobi]

Grazie.

[Lorin]

Sono d'accordo con mistake, tutto dipende dalla struttura del gruppo con cui stiamo lavorando

[Martino]

Il problema non è facile né risolto. In media gli ordini con più gruppi sono le potenze di primi. Uno si potrebbe chiedere quali sono quei numeri \( \displaystyle n \) per cui esiste un solo gruppo di ordine \( \displaystyle n \) . Si tratta degli interi \( \displaystyle n \) tali che \( \displaystyle (n,\varphi(n))=1 \) . Poi uno potrebbe chiedersi quali siano i numeri con una data proprietà P (dove diciamo che un numero ha la proprietà P se ogni gruppo di quell'ordine ha la proprietà P). Per esempio quali sono i numeri ciclici? Quelli di cui ho parlato qui sopra. Quelli abeliani? Non so, ci devo pensare. Quelli risolubili? Il teorema di Burnside dice che se un numero è diviso da al più due primi allora è risolubile. I numeri semplici sono esattamente i numeri primi e 1. Eccetera

Avevo visto una volta un articolo che caratterizzava i numeri nilpotenti. Se lo trovo ve lo segnalo.

[mistake89]

Interessantissima questa cosa Martino.