Prodotto Scalare e Prodotto Vettoriale

Messaggioda m4551 » 14/05/2010, 18:46

Salve a tutti, ho questo esercizio:
Dati i vettori $ v=3i-4j, w=i-j, u=-i+2j $ calcolare: $ (v xx w) * u $

I miei dubbi sono i seguenti:
Il libro cosa intende per $ (v xx w) $ ?
Nella teoria non c'è questo simbolo ma appare solo il prodotto scalare indicato con $ v * w $ ed il prodotto vettoriale indicato con $ v ^^ w $
Grazie per l'aiuto. Se è possibile spiegatemi proprio praticamente lo svolgimento di $ (v xx w) $, in questo modo capisco subito. Grazie.
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Messaggioda orazioster » 14/05/2010, 19:03

è il prodotto vettoriale!

"$\Lambda$", come simbolo, indica, più in generale, (per quanto io ne sappia) la
antisimmetria.

A proposito di antisimmetria, verifica che $(uXv)*w = (wXu)*v= (vXw)*u$ se non mi son sbagliato
io a 'girare'... (sennò verificherai che ho sbagliato io :-D)
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Messaggioda orazioster » 14/05/2010, 19:06

Come modo "pratico" per svolgere il 'prodotto vettore' o 'prodotto croce',
ognuno, ritengo, ne adotta uno che gli è più congeniale.
A me viene bene considerare le componenti, e....la mia 'tabellina':
un per due tre,
un per tre meno due...

( :lol: con questo puoi scherzare coi tuoi colleghi, a dire: un per due tre!);
altri si troveranno meglio con il determinante simbolico, ... .

In generale, ricorda: ....123123123... --> + ...213213213... --> - .
(avrai a contar "rotori"!...)
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Messaggioda m4551 » 14/05/2010, 20:19

Grazie! quindi se io devo fare $ (v xx w) $ svolgerò in questo modo:

$ v=3i-4j, w=i-j $
$ (3*1+4*1)=7 $ in questo modo mi calcolo la proiezione del vettore, infatti facendo questo prodotto esce uno scalare, se v e w sono perpendicolari $ v xx W =0 $.
Tutto giusto?
Però mi sorge un dubbio, i e j sono i versori che hanno direzione degli assi x,y, quindi quando faccio il prodotto Vettore non considero i e j ed "uso" solo il coefficiente numerico posto davanti ad essi?
Grazie per l'aiuto.
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Messaggioda m4551 » 14/05/2010, 20:57

0k risolto era come dicevo sopra Grazie! :D
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Messaggioda orazioster » 15/05/2010, 09:52

Quello è il prodotto scalare $v*w$, che ti dà uno scalare (sì, in questo caso è $7$).

Il "prodotto vettoriale", $vxw$ ti dà un vettore, che è ortogonale ad entrambi $v$ e $w$,
ed ha modulo $||v||*||w||*sin hat(vw)$. -e questo è massimo se sono ortogonali (nullo se paralleli).
Nota che è l'area di un parallelogramma in $E^2$ con lati (contigui) paralleli ai due vettori.
Il prodotto
vettoriale ha senso solo in $RR^3$, per cui
i tuoi vettori saranno:
$v=(3hat(i)-4hat(j) +0hat(k))$, $w=(1hat(i)-1hat(j)+0hat(k))$
Il vettore risulatante $z$ del prodotto sarà ortogonale ad entrambi, perciò
$z=(0hat(i)+0hat(j)+hhat(k))$.

qual è $h$?

un per uno zero,
un per due tre...

:-D CIOE'! :- $ z^3 =v^1*w^2 - v^2*w^1$; vedi? dicevo:
312... -->"+", 321... -->"-".

Allora -$vxw=(0hat(i) + 0hat(j) +((-3) - (-4) = 1)hat(k))$.

Poi questo andrà moltiplicato scalarmente per l'altro vettore.


-perchè lo scalare risultante sarà in modulo il
volume di un prisma a facce -parallelogrammi e spigoli
insistenti nello stesso vertice paralleli ai tre vettori in $E^3$?


!Ma infatti vedo ora che è nullo -com era ovvio, perchè i tre vettori giacciono sullo stesso piano.


Il "prodotto misto", che è quello che hai tu: risulatato di prodotto vettore scalare altro vettore, ti
fa vedere se tre vettori sono o no linearmente indipendenti.
Il prodotto misto pui vederlo come determinante
di una matrice che ammetta come sue (colonne diciamo, anche se il determinante è uguale...) i vettori (nell'ordine!)
$u$, $v$, $w$ (ovvero in permutazioni pari...)
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Messaggioda m4551 » 15/05/2010, 10:24

grazie!
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Messaggioda m4551 » 15/05/2010, 10:25

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Messaggioda m4551 » 15/05/2010, 10:25

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Messaggioda m4551 » 15/05/2010, 10:25

grazie!
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