Quanti automorfismi possiede un Gruppo diedrico?

[francicko]

Quanti automorfismi possiede un Gruppo diedrico $D_(2n)$?
Procedo con il seguente ragionamento, il Gruppo $D_(2n)$ consta di un Gruppo ciclico di ordine $n$ ed $n$ elementi di ordine $2$;
Sia $H=<a>$ il sottogruppo di ordine $n$ generato dall'elemento $<a>$ , ed $t_1$ uno degli elementi di ordine $2$,
si avrà pertanto $D_2n=<a>uu (t_1, t_1a, t_1a^2,t_1a^3,....t_1a^(n-1))$.
Dovendo ricercare degli automorfismi, agli elementi $a$, ed $t_1$ devono corrispondere elementi del medesimo ordine,
rimanendo fissato l'elemento $a$ consideriamo la seguente applicazione:

$a rarr a$, $t_1 rarr t_1a^j$ al variare di $j in (1,2,3...n)$

pertanto nel caso suddetto l'applicazione considerata che si vede facilmente essere un automorfismo dà origine precisamente ad $n$ distinti automorfismi.

Sapendo che gli elementi generatori di $H$ sono solamente gli $a^i$ con $(i,n)=1$ ed sapendo che gli automorfismi di $H$ sono in numero di $phi(n)$ cioè tanti quanti sono i suoi generatori, ciò mi permette di generalizzare e considerare la seguente più generale applicazione:


$a rarr a^i$ con $(i,n)=1$ , $t_1 rarr t_1(a^i)^j$al variare di $j in (1,2,3,..n)$
la suddetta e più generale applicazione che si vede facilmente essere anch'essa un automorfismo, per ogni $i$ fissato darà origine ad $n$ automorfismi, pertanto mi permette di concludere ed affermare con certezza che il Gruppo diedrico $D_(2n)$ possiede in toto esattamente $n*phi(n)$ distinti automorfismi!
Pur trattandosi di un semplice esercizio, spero di non aver scritto stupidaggini e di averne esplicitato correttamente la soluzione, se qualcuno vuole intervenire per esprimere un parere sulla veridicità o meno del contenuto, Grazie!

[Aggiunta: si ha \( \displaystyle \text{Aut}(D_{2n}) \cong \text{Aff}(C_n) := C_n \rtimes \text{Aut}(C_n) \) , si veda qui, e per gli automorfismi dei gruppi ciclici qui - Martino]

[mistake89]

Sì è corretto!

[francicko]

Mi sono accorto però che nel caso che sia $n=2$ ottengo il gruppo trirettangolo $Z_2xxZ_2$, questo gruppo particolare non risponde
alla formula generale che ho ottenuto, in quanto la tavola moltiplicativa risulta simmetrica per gli elementi diversi da $e$,
pertanto gli automorfismi non risulteranno $n*phin$ cioè $2*1=2$, ma bensì risulteranno essere per la particolare simmetria $3!$$=6$, quindi la formula risulterà valida con la condizione che sia $n>2$,cioè $n$ strettamente maggiore di $2$.
Resto in attesa di un parere sulla questione, grazie!

[mistake89]

Un gruppo di ordine $4$ (intendi questo vero?) o è $ZZ_4$ o è $ZZ_2 \times ZZ_2$ quindi di ordine $4$ non esiste gruppo diedrale.

[francicko]

Giusto , hai ragione Mistake, infatti il gruppo $Z_2xxZ_2$ non viene fuori come isometrie di un poligono regolare, pur constando di un
gruppo ciclico di ordine $2$ , e di due elementi di ordine $2$, cioè $<a>uu(b,ab)$, pertanto non è necessario specicare $n>2$, e la formula resta valida, per i gruppi diedrici.
Grazie!!

[vict85]

Tutti dipende da cosa usi come definizione di gruppo diedrale. Senza considerare che esiste un poligono che possiede $D_4$ come gruppo si simmetrie (il rettangolo). Dal punto di vista teorico sia il caso $n=1$ che quello $n=2$ esistono ma possiedono caratteristiche differenti dagli altri gruppi diedrali. Il caso $n=1$ non possiede neanche le presentazioni normali di un gruppo diedrale mentre il caso $n=2$ ha le stesse presentazioni di $n>=3$ anche se finiscono per implicare l'abelianità del gruppo.

Il problema con il caso n=2 non sta comunque nella formula ma nelle premesse.


X francicko: generalmente il gruppo si chiama diedrale e personalmente tu sei la prima persona che ho incontrato che lo chiama diedrico. Ho comunque visto su google che non sei l'unico.

[francicko]

Rispondo a Vict85.
Ti posso assicurare che in alcuni testi di algebra viene usato il termine DIEDRICO per identificare tale gruppo, in altri come ad
esempio l'herstein credo invece si usi il termine DIEDRALE.
Da quel poco che io conosco,inoltre, tali gruppi nascono dalle isometrie di un poligono regolare, il più piccolo poligono regolare è
il triangolo equilatero da cui ha origine il gruppo diedrico $D_3$, non abeliano come tutti i gruppi diedrici $D_n$ con $n>=3$.

[vict85]

Rispondo a Vict85.
Ti posso assicurare che in alcuni testi di algebra viene usato il termine DIEDRICO per identificare tale gruppo, in altri come ad
esempio l'herstein credo invece si usi il termine DIEDRALE.
Da quel poco che io conosco,inoltre, tali gruppi nascono dalle isometrie di un poligono regolare, il più piccolo poligono regolare è
il triangolo equilatero da cui ha origine il gruppo diedrico $D_3$, non abeliano come tutti i gruppi diedrici $D_n$ con $n>=3$.

Probabilmente con diedrico intende il gruppo propriamente geometrico. Esistono comunque altri modi in cui il gruppo può essere definito. Per esempio un gruppo diedrale può essere definito come ogni gruppo di Coxeter generato da 2 elementi (in questa definizione è incluso anche il gruppo diedrale infinito e quello con n=2) o in maniera totalmente algebrica (come prodotto semidiretto oppure come gruppo definito da una particolare presentazione). Senza dubbio i casi abeliani sono piuttosto trascurabili e spesso vengono (tacitamente) esclusi.
Comunque non ho molta conoscenza dei libri di algebra in italiano. Il Machì usa diedrale e anche l'herstein e l'Artin. Gli altri non li ho mai sfogliati. Seppur possa sembrare che diedrale sia una parola derivata da inglese o francese (per assonanza) in realtà il dizionario asserisce che diedrale è l'aggettivo che significa "proprio del diedro" mentre diedrico non c'è. Da una breve ricerca penso che l'uso di diedrico derivi dallo spagnolo.