Se $n=6$ allora $|AutA_6:S_6|=2$

[biggest]

Non mi sono chiari alcuni punti della dimostrazione, potete chiarirmeli?

$A_6$ ha due classi di elementi di ordine 3 : $T=[(a b c)]$ e $S=[(abc)(def)]$ (ok, mi trovo).
Se ho un automorfismo di $A_6$ questo mi trasforma 3-cicli in 3-cicli (ok , mi trovo visto che gli automorfismi conservano la struttura ciclica).
Ora se L è un sottogruppo di $Aut(A_6)$ allora questo sottogruppo ha sicuramente indice 1 o 2 (perchè?, perchè è T o S?, è giusto?)
Ma, sappiamo che per ogni automorfismo di $A_n$ con $n>=5$ esiste una permutazione tale che l'automorfismo in questione è uguale alla restrizione dell'automorfismo interno indotto dalla permutazione al gruppo alterno (ok, mi trovo, sono 3 pagine di dimostrazione di un teorema), quindi $|AutA_6:S_6|=1 o 2$ (perchè?)
Costruiamo un automorfismo esterno di $S_6$. Poniamo $S_6=G$.
Sia $H=G_a$ il sottogruppo fissato da a. Allora $|G:H|=6$. Allora $|G:H|=6$ (perchè?).
Consideriamo $S_5$. Questo gruppo contiene sei 5-sottogruppi di Sylow che vengono permutati mediante coniugio(perchè?)
Visto che $A_5$ è l'unico sottogruppo normale proprio di $S_5$, possiamo dire che questa rappresentazione è corretta. Dunque $S_5$ è isomorfo ad un sottogruppo $K$ di $S_6$. Allora $|G:K|=6$ (perchè?)
ma K è diverso da ogni sottogruppo fissato da un elemento b visto che non possiamo avere in $S_5$ un sottogruppo normale $5-Sylow$ (segue dal fatto che l'unico sottogruppo normale non banale di $S_n$ è $A_n$?).
Siano $ {x_i} $ e $ {y_i} $ rispettivamente l'insieme dei laterali destri rappresentanti di $H$ e $K$.
G permuta i laterali H e K mediante le seguenti due applicazioni:
$\alpha : g \rarr ( ( Hx_1 , ... , Hx_6 ),( Hx_1g , ... , Hx_6g )$ e $ \beta : g \rarr ( ( y_1 , ... , Ky_6 ),( Ky_1g , ... , Ky_6g ) $
Possiamo allora costruire una funzione $\tau=\alpha \gamma \beta ^(-1)$ dove $\gamma$ scambia i laterali.
Se $x_1=y_1=1$ allora H viene trasformato mediante $\tau$ in K, quindi $\tau$ non è interno e H e K non sono coniugati.
$A_6$ è caratteristico in G e quindi $\tau$ ristretto ad $A_6$ è un automorfismo.
Se tale restrizione è uguale ad un automorfismo interno indotto da una permutazione ristretto ad $A_6$, allora:
$ (H nn A_6)^(g) =(K nn A_6) $ (segue dal fatto che $\tau$ fissa $A_6$ e manda H in K?)
, ciò mostra che ci sono sottogruppi normali (perchè) in $A_5$ non banali, assurdo.

[mistake89]

Non ti so rispondere, però... che bella la teoria dei gruppi!

[biggest]

E' molto, molto bella, ma è un casino.....

[j18eos]

Iniziamo con una domanda: \( \displaystyle T \) ed $S$ sono sostegni di sottogruppi di \( \displaystyle \mathrm{Alt}6 \) ?

Cambiando percorso, se vuoi: considera \( \displaystyle Z(\mathrm{Alt}6)=Z \) , chi è \( \displaystyle \mathrm{Alt}6/_Z \) ? In che rapporti è con \( \displaystyle \mathrm{Aut}(\mathrm{Alt}6) \) ?

[Martino]

Innanzitutto, come ricorda j18eos, vale la pena osservare che l'azione di coniugio di \( \displaystyle S_6 \) su \( \displaystyle A_6 \) determina un omomorfismo iniettivo \( \displaystyle S_6 \to \text{Aut}(A_6) \) , possiamo quindi pensare che \( \displaystyle A_6 < S_6 \leq \text{Aut}(A_6) \) . Inoltre anche \( \displaystyle \text{Aut}(S_6) \) si immerge in \( \displaystyle \text{Aut}(A_6) \) , tramite la restrizione ad \( \displaystyle A_6 \) , che ha senso essendo \( \displaystyle A_6 \) caratteristico in \( \displaystyle S_6 \) (facile esercizio). Mostrare che tale restrizione è iniettiva è un altro facile esercizio.

Se ho un automorfismo di $A_6$ questo mi trasforma 3-cicli in 3-cicli (ok , mi trovo visto che gli automorfismi conservano la struttura ciclica).

Eh no, è proprio questo il punto! Se un automorfismo di \( \displaystyle A_6 \) manda \( \displaystyle 3 \) -cicli in \( \displaystyle 3 \) -cicli allora è il coniugio tramite un elemento di \( \displaystyle S_6 \) (questo è un fatto che si dimostra non troppo difficilmente, e lo chiamerò stellina).

Ora se L è un sottogruppo di $Aut(A_6)$ allora questo sottogruppo ha sicuramente indice 1 o 2 (perchè?, perchè è T o S?, è giusto?)

Se \( \displaystyle L \) è un sottogruppo di \( \displaystyle \text{Aut}(A_6) \) che contiene \( \displaystyle S_6 \) allora ha indice 1 o 2, e il motivo è che se prendo due automorfismi di \( \displaystyle A_6 \) che non provengono da \( \displaystyle S_6 \) , per stellina questi devono mandare i \( \displaystyle 3 \) -cicli nei \( \displaystyle (3,3) \) -cicli (definiscono cioè una biiezione \( \displaystyle T \to S \) ), in particolare il loro prodotto manda \( \displaystyle 3 \) -cicli in \( \displaystyle 3 \) -cicli, quindi proviene da \( \displaystyle S_6 \) per stellina. Segue che il gruppo \( \displaystyle \text{Aut}(A_6)/S_6 \) ha la proprietà che il prodotto di due suoi elementi qualsiasi è l'identità. Non è difficile concludere che tale gruppo ha ordine \( \displaystyle 1 \) oppure \( \displaystyle 2 \) . Allo stesso modo anche \( \displaystyle |\text{Aut}(S_6)/S_6| \in \{1,2\} \) .

Sia $H=G_a$ il sottogruppo fissato da a. Allora $|G:H|=6$. Allora $|G:H|=6$ (perché?).

Perché \( \displaystyle G_a \cong S_5 \) e \( \displaystyle |S_6|/|S_5|=6!/5!=6 \) .

Quanto segue si può riassumere in poche righe. L'azione transitiva di \( \displaystyle S_5 \) sui suoi sei \( \displaystyle 5 \) -Sylow definisce un omomorfismo iniettivo \( \displaystyle S_5 \to S_6 \) , chiamiamo \( \displaystyle H \) la sua immagine. \( \displaystyle S_6 \) agisce per moltiplicazione a destra sui sei laterali destri di \( \displaystyle H \) in \( \displaystyle S_6 \) , e questo definisce un omomorfismo iniettivo \( \displaystyle S_6 \to S_6 \) , che quindi è un automorfismo di \( \displaystyle S_6 \) . Per vedere che non è interno basta osservare che manda il sottogruppo transitivo \( \displaystyle H \) in un sottogruppo non transitivo (l'immagine di \( \displaystyle H \) ammette \( \displaystyle H \) come punto fisso, dato che \( \displaystyle Hg=H \) se \( \displaystyle g \in H \) ). Questo definisce per restrizione un automorfismo esterno di \( \displaystyle A_6 \) che non proviene da \( \displaystyle S_6 \) .

In particolare \( \displaystyle \text{Aut}(A_6) \cong \text{Aut}(S_6) \) .