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Soluzione. Per assurdo, supponiamo che $A$ non sia compatto. Per Heine-Borel, ciò significa che $A$ non è limitato oppure non è chiuso. Supponiamo $A$ non limitato: ciò significa, per definizione, che per ogni $M > 0$ esiste $x \in A$ tale che \( \displaystyle \Vert x \Vert > M \) . Ciò equivale a dire che la funzione
\[
\begin{split}
\Vert \cdot \Vert \colon & A \to \mathbb R \\
& x \mapsto \Vert x \Vert
\end{split}
\]
non è limitata. Tuttavia, la norma è chiaramente una funzione continua (anzi addirittura lipschitziana) e quindi per ipotesi è limitata, il che è assurdo.
Supponiamo ora che $A$ non sia chiuso. Ciò equivale a dire che \( \displaystyle \partial A \nsubseteq A \) , cioè esiste un $\overline{x} \in \partial A$ con $\overline{x} \notin A$: definiamo quindi
\[
\begin{split}
f \colon & A \to \mathbb R \\
& x \mapsto \frac{1}{d(x,\overline{x})}
\end{split}
\]
Per definizione di frontiera, possiamo costruire una successione $(x_k) \subset A$ tale che $x_k \to \overline{x}$. In particolare, fissato un $\varepsilon > 0$, per \( \displaystyle k \gg 1 \) , si avrà che $d(x_k,\overline{x}) < \varepsilon$. Quindi, la $f$ non può essere limitata. Chiaramente $f$ è continua su tutto $A$ (infatti, il denominatore non si annulla mai per definizione di distanza) e quindi per ipotesi dovrebbe essere limitata. Assurdo.
Si conclude che $A$ è chiuso e limitato, cioè compatto.
\[
\begin{split}
\Vert \cdot \Vert \colon & A \to \mathbb R \\
& x \mapsto \Vert x \Vert
\end{split}
\]
non è limitata. Tuttavia, la norma è chiaramente una funzione continua (anzi addirittura lipschitziana) e quindi per ipotesi è limitata, il che è assurdo.
Supponiamo ora che $A$ non sia chiuso. Ciò equivale a dire che \( \displaystyle \partial A \nsubseteq A \) , cioè esiste un $\overline{x} \in \partial A$ con $\overline{x} \notin A$: definiamo quindi
\[
\begin{split}
f \colon & A \to \mathbb R \\
& x \mapsto \frac{1}{d(x,\overline{x})}
\end{split}
\]
Per definizione di frontiera, possiamo costruire una successione $(x_k) \subset A$ tale che $x_k \to \overline{x}$. In particolare, fissato un $\varepsilon > 0$, per \( \displaystyle k \gg 1 \) , si avrà che $d(x_k,\overline{x}) < \varepsilon$. Quindi, la $f$ non può essere limitata. Chiaramente $f$ è continua su tutto $A$ (infatti, il denominatore non si annulla mai per definizione di distanza) e quindi per ipotesi dovrebbe essere limitata. Assurdo.
Si conclude che $A$ è chiuso e limitato, cioè compatto.
Posso chiedervi gentilmente un parere sullo svolgimento? Vi pare corretto? Grazie mille.
