SNS 1973 - Polinomio divisibile

[elios]

"Qual è il più grande intero \( \displaystyle {N} \) tale che \( \displaystyle {{n}}^{{5}}-{5}{{n}}^{{3}}+{4}{n} \) sia divisibile per \( \displaystyle {N} \) qualunque sia l'intero \( \displaystyle {n} \)?"

Ho scomposto il polinomio, e ottengo \( \displaystyle {n}{\left({n}-{2}\right)}{\left({n}-{1}\right)}{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)} \). Non capisco se il numero \( \displaystyle {N} \) deve essere in funzione di \( \displaystyle {n} \) oppure no. Nel caso in cui lo sia a me verrebbe da dire che \( \displaystyle {N}={\left({n}+{2}\right)}{\left({n}+{1}\right)}\cdot{n}\cdot{\left({n}-{1}\right)} \), cioè il prodotto di tutti i fattori tranne il minore.

Come si risolve questo esercizio? Grazie

[ViciousGoblin]

"Qual è il più grande intero \( \displaystyle {N} \) tale che \( \displaystyle {{n}}^{{5}}-{5}{{n}}^{{3}}+{4}{n} \) sia divisibile per \( \displaystyle {N} \) qualunque sia l'intero \( \displaystyle {n} \)?"

Ho scomposto il polinomio, e ottengo \( \displaystyle {n}{\left({n}-{2}\right)}{\left({n}-{1}\right)}{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)} \). Non capisco se il numero \( \displaystyle {N} \) deve essere in funzione di \( \displaystyle {n} \) oppure no. Nel caso in cui lo sia a me verrebbe da dire che \( \displaystyle {N}={\left({n}+{2}\right)}{\left({n}+{1}\right)}\cdot{n}\cdot{\left({n}-{1}\right)} \), cioè il prodotto di tutti i fattori tranne il minore.

Come si risolve questo esercizio? Grazie

A leggere il testo la risposta e' che \( \displaystyle {N} \) deve essere indipendente da \( \displaystyle {n} \) - si vuole trovare un numero \( \displaystyle {N} \) tale che
-per QUALUNQUE \( \displaystyle {n} \) il numero \( \displaystyle {\left({n}-{2}\right)}{\left({n}-{1}\right)}{n}{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)} \) sia divisibile per \( \displaystyle {N} \)
- \( \displaystyle {N} \) sia il piu' grande possibile tra quelli con la proprieta' sopra.

Ora, a occhio, direi che presi cinque interi consecutivi almeno due sono pari, almeno due sono multipli di tre e almeno uno e' multiplo di cinque - quindi \( \displaystyle {\left({n}-{2}\right)}{\left({n}-{1}\right)}{n}{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)} \)
dovrebbe essere divisibile per \( \displaystyle {{2}}^{{2}}{{3}}^{{2}}{5}={180} \). Penso anche che se \( \displaystyle {N} \) ha fattori diversi da \( \displaystyle {2} \), \( \displaystyle {3} \) e \( \displaystyle {5} \) oppure ha quei fattori, ma i con potenze superiori a due (nel caso di \( \displaystyle {2} \) e \( \displaystyle {3} \)) o a uno
(nel casi di \( \displaystyle {5} \)) dovrebbe essere possibile costruire un \( \displaystyle {n} \) per cui \( \displaystyle {\left({n}-{2}\right)}{\left({n}-{1}\right)}{n}{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)} \) non sia divisibile per \( \displaystyle {N} \).

Vedi un po' tu

[adaBTTLS]

con questo ragionamento, se n è multiplo di 3, è l'unico tra i 5, mentre degli almeno due numeri pari, almeno uno è multiplo di 4, quindi io direi \( \displaystyle {{2}}^{{3}}\cdot{3}\cdot{5}={120} \).
la situazione "minimale" si ha con n multiplo di 3 dispari: 1*2*3*4*5=120.
però c'è qualcosa che ci garantisca la positività dei singoli numeri? immagino che se sono tutti negativi non cambia nulla, se qualcuno è positivo e qualcuno è negativo tra essi c'è anche lo zero...
dunque quel numero non può essere maggiore di 120 ma 120 risponde ai requisiti del problema, almeno secono me.
ciao.

[ViciousGoblin]

Mi pare che ada abbia ragione - non e' detto che tra quei cinque ce ne siano due di divisibili per tre - puo' essercene solo uno in posizione centrale, ed e' giusto anche che c'e' un fattore due in piu' . Mi scuso ho ragionato un po' di fretta (spero almeno che il tipo di ragionamento sia "passato").

[WiZaRd]

Io credo che potesse essere facilmente risolto notando che \( \displaystyle {n}!{\mid}{\prod_{{{i}={1}}}^{{{n}}}}{\left({k}+{i}\right)},\forall{k}\in{\mathbb{{{Z}}}},\forall{n}\in{{\mathbb{{{N}}}}}^{{\star}} \).

[Steven]

Io credo che potesse essere facilmente risolto notando che \( \displaystyle {n}!{\mid}{\prod_{{{i}={1}}}^{{{n}}}}{\left({k}+{i}\right)},\forall{k}\in{\mathbb{{{Z}}}},\forall{n}\in{{\mathbb{{{N}}}}}^{{\star}} \).

Giusto, penso però che, se volessimo toglierci integralmente i dubbi, dovremmo anche mostrare che \( \displaystyle {n}! \) è appunto il massimo divisore.
E' comunque già un ottimo punto di partenza per levarsi tutti i possibili divisori più piccoli.

[WiZaRd]

Giusto, penso però che, se volessimo toglierci integralmente i dubbi, dovremmo anche mostrare che \( \displaystyle {n}! \) è appunto il massimo divisore.

Credo che questo si possa giustificare notando che al crescere di \( \displaystyle {n} \) scresce il prodotto di cinque interi consecutivi e che \( \displaystyle {5}! \) coincide con uno dei valori assunti dal polinomio: allora per ogni altro \( \displaystyle {n}\gt{3} \) un qualunque valore \( \displaystyle \gt{n}! \) non divide l'immagine tramite il polinomio di \( \displaystyle {3} \).

[elios]

dovremmo anche mostrare che \( \displaystyle {n}! \) è appunto il massimo divisore.

perché lo è?

[giammaria]

Wizard, probabilmente conosci la catalogazione (umoristica) dei vari tipi di dimostrazione matematica; mi pare che la tua soluzione si avvicini a quella che è definita "dimostrazione per incomprensibilità" anche se suppongo che con un po' di pazienza riuscirei a decifrarla.
Preferisco restare a livello terreno e aggiungo un altro modo di accostarsi al problema, che toglie anche ogni dubbio sulla soluzione; noto infatti qualche incertezza nelle ultime frasi di Ada (ti offendi se ti chiamo così?).

Dopo aver fatto la scomposizione, si nota che il più piccolo valore che rende tutto positivo è n=3, in corrispondenza al quale il polinomio vale 120; N deve quindi essere un divisore di 120. Essendo \( \displaystyle {120}={{2}}^{{3}}\cdot{3}\cdot{5} \), controllo, con il ragionamento già indicato nei precedenti interventi, quali di questi fattori è sicuramente divisore del polinomio e concludo con N=120.

[adaBTTLS]

@ giammaria
mi pare che la mia conclusione sia la stessa.
e l"incertezza" non è risolta supponendo, come tu dici, n=3, in quanto "il primo n che rende tutto positivo", perché nell'ipotesi c'era n numero naturale, e nella scomposizione compaiono anche numeri potenzialmente negativi come n-2 e n-1.
dopo le mie perplessità, io ho dato una sorta di motivazione per superare l'incertezza. la tua risposta alla questione specifica qual è?