Sia \( \displaystyle S \) un gruppo semplice. Dato un intero positivo \( \displaystyle n \) , consideriamo il gruppo \( \displaystyle G:=S^n = S_1 \times ... \times S_n \) , il prodotto diretto di \( \displaystyle S \) con se stesso \( \displaystyle n \) volte. Indichiamo con \( \displaystyle \pi_i:G \to S_i \) la proiezione sull' \( \displaystyle i \) -esimo fattore. Come sono fatti i sottogruppi massimali di \( \displaystyle G \) ? Ce ne vengono in mente di due tipi:
1. Dato un sottogruppo massimale \( \displaystyle H \) di \( \displaystyle S \) , chiaramente \( \displaystyle \pi_i^{-1}(H) \) è un sottogruppo massimale di \( \displaystyle G \) per ogni \( \displaystyle i \) . Si tratta del sottogruppo \( \displaystyle S \times ... \times S \times H \times S \times ... \times S \) di \( \displaystyle G \) , dove \( \displaystyle H \) sta al posto \( \displaystyle i \) -esimo. Chiameremo un tale sottogruppo "massimale standard".
2. Dato un automorfismo \( \displaystyle \varphi_{ij}:S_i \to S_j \) , si ha che \( \displaystyle \Delta_{\varphi_{ij}} := \{(x,\varphi_{ij}(x))\ |\ x \in S_i\} \) è un sottogruppo massimale di \( \displaystyle S_i \times S_j \) , e di conseguenza detto \( \displaystyle \pi_{ij}:G \to S_i \times S_j \) , \( \displaystyle g \mapsto (\pi_i(g),\pi_j(g)) \) , il sottogruppo \( \displaystyle \pi_{ij}^{-1}(\Delta_{\varphi_{ij}}) \) di \( \displaystyle G \) è massimale. Chiameremo un tale sottogruppo "massimale diagonale".
Quanto al punto "2", per vedere per esempio che \( \displaystyle \Delta := \{(x,x)\ |\ x \in S\} \) è un sottogruppo massimale di \( \displaystyle S \times S \) basta osservare che se \( \displaystyle \Delta < H \leq S \times S \) allora \( \displaystyle H \cap S_1 = \{(s,1) \in H\ |\ s \in S\} \) è un sottogruppo normale non banale di \( \displaystyle S_1 \) (è facile dimostrarlo) e quindi \( \displaystyle H \cap S_1 = S_1 \) (per la semplicità di \( \displaystyle S \) ). Quindi \( \displaystyle H \) contiene il primo fattore, ma allora per simmetria contiene anche il secondo e quindi \( \displaystyle H = S \times S \) .
Dimostrare che ogni sottogruppo massimale di \( \displaystyle S^n \) è standard oppure diagonale
Suggerimento (nuovo):
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Per induzione. Il caso \( \displaystyle n=2 \) è abbordabile. Ora dato \( \displaystyle M \) sottogruppo massimale non standard di \( \displaystyle G=S^n \) , le restrizioni \( \displaystyle \rho_i=\pi_i|_M \) sono suriettive (altrimenti \( \displaystyle M \) sarebbe standard) e grazie all'ipotesi induttiva possiamo supporre che \( \displaystyle M \) non contenga nessun fattore e di conseguenza (...) \( \displaystyle M \cap S_i = \{1\} \) per ogni \( \displaystyle i \) . Osserviamo quindi che \( \displaystyle MS_i=G \) per ogni \( \displaystyle i \) e usando il secondo teorema di isomorfismo...
PS. Non è difficile come sembra 
