Siano date due serie a termini positivi (strettamente) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ e $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$
Confutare o dimostrare che
1) Se almeno una delle due serie converge, allora la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_nb_n}{a_n+b_n}$ converge.
E questo è banale.
2) Se entrambe le serie divergono, allora la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_nb_n}{a_n+b_n}$ diverge.
A essere sincero, io a senso ho subito provato a confutare la seconda con qualche esempio, ma non ci sono riuscito.
Né in realtà mi sono molto dedicato a mostrare che la divergenza vi è sempre.
Il termine generale della terza serie è una media armonica (la metà, anzi) dei due termini della prima e seconda , ma questo mi è servito ben poco, nonostante le diseguaglianze note sulla media armonica.
A voi