\[
\Vert f \Vert_{\alpha} := \sup_{[0,1]} \vert f \vert + \sup_{y \ne x} \frac{\vert f(x)-f(y) \vert}{\vert x-y\vert^\alpha}.
\]
Sia ora $E$ il sottospazio
\[
E:=\left\{f \in C^{0,\alpha}([0,1]): \lim_{r \to 0^+} \sup_{0<\vert y-x\vert <r} \frac{\vert f(x)-f(y) \vert}{\vert x-y\vert^\alpha} = 0\right\}.
\]
Provare che $E$ è chiuso e che \(C^1([0,1])\) è denso in $E$.
Qualche idea.
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Anzitutto, penso che sia utile chiedersi se \(C^{0,\alpha}([0,1])\) sia completo rispetto a quella norma. Ad occhio, direi di sì: la norma prende la funzione, considera il suo max e ci somma la "miglior" costante di Holder, giusto?
In ogni caso, devo provare che $E$ è chiuso. Proviamo per successioni: sia $(f_n)_{n \in \mathbb N}$ una successione di funzioni di $E$ e sia $f$ il suo limite. Provo che $f \in E$. Fissiamo $r>0$ abbastanza piccolo. Le $f_n$ hanno (miglior) costante di Holder piccola a piacere per tutti gli $x,y$ con $0<|y-x|<r$.
Detto meglio, sia $c_n$ è la miglior costante di Holder per $f_n$, cioè
\[
c_n = \sup_{x \ne y} \frac{\vert f_n(x)-f_n(y) \vert}{\vert x-y\vert^\alpha}.
\]
Allora ho che per ogni $n$, per ogni $\varepsilon>0$ esiste un $\delta>0$ tale che se $r<\delta$ allora $c_n < \varepsilon$.
Fissiamo $n$ e fissiamo $\varepsilon$: allora
\[
\frac{\vert f(x)-f(y) \vert}{\vert x-y\vert^\alpha} \le \frac{\vert f_n(x)-f(x) \vert}{\vert x-y\vert^\alpha} + \frac{\vert f_n(y)-f(y) \vert}{\vert x-y\vert^\alpha} + \frac{\vert f_n(x)-f_n(y) \vert}{\vert x-y\vert^\alpha} \le \frac{2\varepsilon}{\vert x-y\vert^\alpha} + c_n
\]
cioè, per $r<\delta$
\[
\sup_{0 < \vert y-x\vert < r} \frac{\vert f(x)-f(y) \vert}{\vert x-y\vert^\alpha} \le \frac{2\varepsilon}{\vert x-y\vert^\alpha} + \varepsilon
\]
E' giusto? Ho i miei dubbi.
L'inclusione \(C^1([0,1]) \subset E\) è facile da provare, la densità un po' di meno. Naturalmente, qui sotto c'è sicuramente Baire. Ed è qui che entra in gioco la completezza. Se $C^{0,\alpha}$ è completo (cosa che spero e in cui ho deciso di credere) allora anche $E$ è completo (è chiuso in un completo) e quindi sarebbe di Baire. Tradotto, se prendo una successione di chiusi la cui unione ha punto interno allora anche uno dei chiusi ha punto interno. Ma come posso fare per provare la densità?
In ogni caso, devo provare che $E$ è chiuso. Proviamo per successioni: sia $(f_n)_{n \in \mathbb N}$ una successione di funzioni di $E$ e sia $f$ il suo limite. Provo che $f \in E$. Fissiamo $r>0$ abbastanza piccolo. Le $f_n$ hanno (miglior) costante di Holder piccola a piacere per tutti gli $x,y$ con $0<|y-x|<r$.
Detto meglio, sia $c_n$ è la miglior costante di Holder per $f_n$, cioè
\[
c_n = \sup_{x \ne y} \frac{\vert f_n(x)-f_n(y) \vert}{\vert x-y\vert^\alpha}.
\]
Allora ho che per ogni $n$, per ogni $\varepsilon>0$ esiste un $\delta>0$ tale che se $r<\delta$ allora $c_n < \varepsilon$.
Fissiamo $n$ e fissiamo $\varepsilon$: allora
\[
\frac{\vert f(x)-f(y) \vert}{\vert x-y\vert^\alpha} \le \frac{\vert f_n(x)-f(x) \vert}{\vert x-y\vert^\alpha} + \frac{\vert f_n(y)-f(y) \vert}{\vert x-y\vert^\alpha} + \frac{\vert f_n(x)-f_n(y) \vert}{\vert x-y\vert^\alpha} \le \frac{2\varepsilon}{\vert x-y\vert^\alpha} + c_n
\]
cioè, per $r<\delta$
\[
\sup_{0 < \vert y-x\vert < r} \frac{\vert f(x)-f(y) \vert}{\vert x-y\vert^\alpha} \le \frac{2\varepsilon}{\vert x-y\vert^\alpha} + \varepsilon
\]
E' giusto? Ho i miei dubbi.
L'inclusione \(C^1([0,1]) \subset E\) è facile da provare, la densità un po' di meno. Naturalmente, qui sotto c'è sicuramente Baire. Ed è qui che entra in gioco la completezza. Se $C^{0,\alpha}$ è completo (cosa che spero e in cui ho deciso di credere) allora anche $E$ è completo (è chiuso in un completo) e quindi sarebbe di Baire. Tradotto, se prendo una successione di chiusi la cui unione ha punto interno allora anche uno dei chiusi ha punto interno. Ma come posso fare per provare la densità?
Grazie.
