$\sum_{n=-\infty}^{\infty} n^2 |a_n|^2 \ge 1$

[Paolo90]

Problema. Data una curva chiusa di classe $C^1$ in $CC$ di lunghezza $2\pi$ se ne considerino tutte le parametrizzazioni regolari, tra loro equivalenti, attraverso un parametro $t \in [0,2\pi]$.
Sia $\gamma(t)$ una di queste parametrizzazioni e sia
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{int}
\]
il suo sviluppo in serie di Fourier.

Mostrare che
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} n^2 \vert a_n \vert^2 \ge 1
\]
con uguaglianza se e soltanto se $\gamma$ è la parametrizzazione riferita alla lunghezza d'arco.

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Si tratta di una (neanche troppo) vecchia ammissione in SNS; purtroppo, non riesco a concludere nulla di furbo. L'unica cosa di cui mi sono accorto è che se scriviamo esplicitamente chi sono gli $a_n$ e integriamo per parti troviamo
\[
a_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \gamma(t)e^{-int}dt = \frac{1}{2\pi i n} \int_0^{2\pi} \gamma^{\prime}(t)e^{-int}dt = \frac{a^{\prime}_n}{in}
\]
dove \( \displaystyle a^{\prime}_n \) sono i coefficienti di Fourier di $\gamma'$. Quindi $n^2|a_n|^2=|a'_n|^2$. Ora uno sarebbe tentato di usare Bessel, ma non riesco a capire come (anche perché la disuguaglianza è con il verso opposto a quello che vogliamo: noi dobbiamo minorare, Bessel invece serve per maggiorare).

Qualcuno ha voglia di darmi una dritta, per piacere? Grazie!

[Seneca]

Premessa la mia non conoscenza delle serie di Fourier,
partirei dall'identità $\int_0^{2 \pi} |f(z)|^2 d \theta = 2 \pi \sum_{n = 0}^{+ \infty} |c_n|^2 r^{2n}$ ($z = r e^{i \theta}$) (click).
Essendo $f \in C^1$
\[ f'(t) = \sum_{n= - \infty}^{\infty} i n a_n e^{int} \]

\[ \int_0^{2 \pi} |f'(t)|^2 dt = 2 \pi \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} | n a_n|^2 = 2 \pi \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} n^2 |a_n|^2 \]
Quindi: $\frac{1}{2\pi} \int_0^{2 \pi} |f'(t)|^2 dt = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} n^2 |a_n|^2$

Ammesso questa identità sia vera, non so a cosa potrebbe servirti...

[Paolo90]

Grazie Seneca per la tua risposta.

Sì, credo di aver capito quello che mi stai suggerendo: l'ultima riga del tuo post è l'identità di Parseval che sarebbe la disuguaglianza di Bessel trasformata in uguaglianza dalla completezza.

Dalla Parseval è evidente la seconda parte dell'esercizio, ovvero è ovvio caratterizzare il caso d'uguaglianza (si vede subito che se $f$ è la parametrizzazione con l'ascissa curvilinea il primo membro vale esattamente 1). Però come stimare dal basso quell'integrale? Mmm, ci penso.

Nel frattempo, ti ringrazio ancora per la tua risposta.

[Rigel]

Per concludere mi sembra che sia sufficiente usare la disug. di Jensen (o Hoelder).
(Immagino si stia assumendo che la curva ha lunghezza $2\pi$.)

[Paolo90]

@ Rigel: immagini correttamente: avevo dimenticato di scrivere quell'ipotesi, mi scuso.
Holder, ma certo! Un giorno o l'altro mi dovrai spiegare come fai a togliermi sempre le castagne dal fuoco!

Ricapitolo brevemente: per prima cosa si ha
\[
a_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \gamma(t)e^{-int}dt = \frac{1}{2\pi i n} \int_0^{2\pi} \gamma^{\prime}(t)e^{-int}dt = \frac{a^{\prime}_n}{in}
\]
dove \( \displaystyle a^{\prime}_n \) sono i coefficienti di Fourier di $\gamma'$. Quindi $n^2|a_n|^2=|a'_n|^2$ e questo mi permette di scrivere
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} n^2 \vert a_n \vert^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \vert a^{\prime}_n \vert^2 .
\]

Ora, per via dell'identità di Parseval, posso scrivere
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \vert a^{\prime}_n \vert^2 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \vert \gamma^{\prime}\vert^2 dt
\]
da cui (Holder)
\[\begin{split}
& \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \Vert \gamma^{\prime} \Vert^2 dt = \\
= & \frac{1}{2\pi} \Vert \gamma^{\prime} \Vert_2^2 = \\
= & \frac{1}{2\pi} \Vert \gamma^{\prime} \Vert_2^2 \frac{1}{2\pi}\Vert 1 \Vert_2^2 \ge \frac{1}{4\pi^2}\Vert \gamma^{\prime} \cdot 1 \Vert_1^2 = \\
= & \frac{1}{4\pi^2} \left( \int_0^{2\pi} \Vert \gamma^{\prime} \Vert dt \right)^2 = \frac{1}{4\pi^2} \mathcal{L}(\gamma)^2 = 1.
\end{split}
\]

Ti convince? Grazie mille!

[gugo82]

Sbaglio o questa disuguaglianza ha parecchio a che fare con la disuguaglianza isoperimetrica?
Almeno ad una prima distratta occhiata sembrerebbe di sì...

[Rigel]

@gugo: Direi che è sostanzialmente una parte della dim. fatta attraverso le serie di Fourier della disug. isoperimetrica.
@Paolo: mi sembra ok.