Ok alvin...Ti accontento subito (dato che ci vogliono davvero due righe).
Un fatto fondamentale di Analisi Complessa è il seguente
Teorema di Liouville:
Le uniche funzioni intere limitate sono le funzioni costanti; il che equivale a dire che se \( \displaystyle f:\mathbb{C} \to \mathbb{C} \) è una funzione olomorfa (i.e. derivabile in senso complesso) in tutto \( \displaystyle \mathbb{C} \) e se esiste un \( \displaystyle M\geq 0 \) tale che:
\( \displaystyle \forall z\in \mathbb{C} ,\ |f(z)|\leq M \)
allora \( \displaystyle f \) è costante.
(Questo non è vero in \( \displaystyle \mathbb{R} \) : ad esempio \( \displaystyle \frac{1}{1+x^2} \) è limitata e di classe \( \displaystyle C^\infty \) ma si guarda bene dall'essere costante!)
Il risultato di Liouville si dimostra usando alcune stime che conseguono dal
Teorema integrale di Cauchy.
Vogliamo provare il
Teorema Fondamentale dell'Algebra:
Se \( \displaystyle P(z) \) è un polinomio di grado \( \displaystyle \geq 1 \) a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{C} \) allora \( \displaystyle P(z) \) ha tutte le sue radici in \( \displaystyle \mathbb{C} \) .
Conseguentemente \( \displaystyle \mathbb{C} \) è un campo algebricamente chiuso.
Prima d'iniziare, una richiesta di clemenza: consentitemi di confondere, come fa ogni buon analista, il polinomio \( \displaystyle P\in \mathbb{C}[Z] \) con l'applicazione polinomiale ad esso associata \( \displaystyle P(z) \) (cosa che si può fare senz'altro perchè \( \displaystyle \mathbb{C} \) è un campo "buono").
Dim.: Basta dimostrare che:
(
A) \( \displaystyle P(z) \text{ ha almeno una radice in } \mathbb{C} \) .
Infatti, valendo l'algoritmo della divisione, se \( \displaystyle P(z) \) ha una radice \( \displaystyle z_0\in \mathbb{C} \) , allora si scrive \( \displaystyle P(z)=(z-z_0)\cdot Q(z) \) con \( \displaystyle Q(z) \) polinomio di grado \( \displaystyle \text{grad}(Q)=\text{grad}(P)-1 \) ; se \( \displaystyle \text{grad}(Q)>0 \) , allora quanto provato consente di trovare una radice \( \displaystyle z_1\in \mathbb{C} \) di \( \displaystyle Q(z) \) e di scrivere \( \displaystyle P(z)=(z-z_0)(z-z_1)\cdot R(z) \) con \( \displaystyle \text{grad}(R)=\text{grad}(P)-2 \) ; etc... In tal modo, dopo \( \displaystyle \text{grad}(P) \) passi, si ottiene \( \displaystyle P(z)=c\cdot (z-z_0)(z-z_1)\ldots (z-z_{\text{grad}(P)}) \) (con \( \displaystyle c\in \mathbb{C} \) ) sicché \( \displaystyle P(z) \) ha tutte le sue radici in \( \displaystyle \mathbb{C} \) .
Da ciò segue immediatamente che $\mathbb{C}$ è algebricamente chiuso.
Dimostriamo allora la (
A).
Per assurdo, supponiamo che il polinomio \( \displaystyle P(z) \) non abbia alcuna radice in \( \displaystyle \mathbb{C} \) : in tal caso risulta ben definita in tutto \( \displaystyle \mathbb{C} \) la funzione \( \displaystyle f(z):=\frac{1}{P(z)} \) ed è inoltre anche olomorfa, giacché \( \displaystyle P(z) \) è derivabile e risulta:
\( \displaystyle f^\prime (z)=\frac{P^\prime (z)}{P^2(z)} \) .
Si ha:
1. \( \displaystyle \lim_{z\to \infty} |P(z)|=+\infty \) , cosicché \( \displaystyle \lim_{z\to \infty} |f(z)|=0 \) quindi fissato \( \displaystyle \varepsilon =1 \) esiste un \( \displaystyle R>0 \) tale che per \( \displaystyle |z|>R \) si ha \( \displaystyle |f(z)|\leq 1 \) ;
2. la \( \displaystyle f(z) \) è continua e, per il teorema di Weierstrass, la funzione reale \( \displaystyle |f(z)| \) è dotata di massimo in \( \displaystyle |z|\leq R \) : perciò esiste \( \displaystyle L>0 \) tale che per \( \displaystyle |z|\leq R \) si ha \( \displaystyle |f(z)|\leq L \) .
Le
1 e
2 implicano:
\( \displaystyle \forall z\in \mathbb{C} ,\ |f(z)|\leq \max \{ 1, L\} \) ,
cosicché \( \displaystyle f(z) \) è limitata in \( \displaystyle \mathbb{C} \) .
Il Teorema di Liouville assicura che \( \displaystyle f(z) \) è costante (e non nulla, poiché il numeratore è \( \displaystyle 1\neq 0 \) ) e ciò importa che \( \displaystyle P(z) \) è costante, ossia che \( \displaystyle \text{grad}(P)=0 \) ; ma cio è assurdo in quanto abbiamo supposto che \( \displaystyle \text{grad}(P)\geq 1 \) .
Pertanto \( \displaystyle P(z) \) ha almeno una radice in \( \displaystyle \mathbb{C} \) , ossia vale la (
A). \( \displaystyle \square \)
@dissonance:
dissonance ha scritto:Una curiosità: quella che dice Gugo è la dimostrazione a cui fa riferimento J.S.Milne
qui, pag.49 nota 18.
Concordo.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)