Qui ci occupiamo dei giochi cooperativi, ovvero di quando il "contesto istituzionale" dà la possibilità di sottoscrivere accordi vincolanti.
Un effetto importante è che il modello formale usato cambia. Non sarà più il gioco in forma strategica, e "di conseguenza" neanche l'equilibrio di Nash sarà la soluzione "regina", come fatto qui:
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... 20385.html
senza dimenticare il post trascurato ma importante:
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... 20428.html
Il modello usato tipicamente nella modellizzazione dei giochi cooperativi è quello dei giochi "in forma caratteristica" (alcuni preferirebbero il termine "in forma coalizionale"). E, come gioco in forma caratteristica, il modellino più semplice è dato dai giochi "a utilità trasferibile" ("Transferable Utility", da cui: TU-games).
Un TU-game è $(N,v)$. Dove $N$ è un insieme finito e $v: 2^N -> RR$, con la condizione che $v(\emptyset) = 0$.
La interpretazione standard è quella che, per $S \sube N$, $v(S)$ rappresenta la somma delle utilità conseguibili dai membri di $S$ (derivanti dalla scelta di specifiche azioni, se del caso previa sottoscrizione di un appropriato accordo vincolante). Tuttavia, lo strumento dei TU-games è molto flessibile ed è stato usato in contesti estremamente diversificati (e lo stesso dicasi per le interpretazioni).
Un elemento di $RR^N$, cioè $(x_i)_(i \in N)$, viene detto allocazione.
Una allocazione che soddisfi le condizioni:
- C1 - $\sum_(i \in N) x_i = v(N)$
- C2 - $x_i \ge v({i})$
viene detta imputazione.
La condizione C1 è tipicamente interpretata come condizione di efficienza, anche se non sempre questa interpretazione è giustificata, come si vedrà. La condizione C2 è invece denotata come condizione di razionalità individuale.
Una classe importante di TU-games è costituita dai giochi superadditivi. Un TU-game $(N,v)$ è detto superadditivo se:
- SADD - $v(S \cup T) \ge v(S) + v(T)$ per ogni $S,T \sube N$ t.c. $S \cap T = \emptyset$.
Se un gioco è superadditivo, l'intepretazione di C1 come condizione di efficienza è sostenibile. Altrimenti può essere estremamente discutibile. Basta pensare a questo TU-game, molto semplice: $N = {1,2}$; $v({1}) = v({2}) = 1$, $v({1,2}) = 0$.
Una condizione meno stringente è quella di essere "coesivo":
- COES - $v(N) \ge \sum_{i=1}^k v(S_i)$ per ogni partizione $S_1, ldots, S_k$ di $N$.
Anche per un gioco coesivo è ragionevole interpretare la condizione C1 come condizione di efficienza.
Per i giochi coesivi (a fortiori per quelli superadditivi) è plausibile che i giocatori preferiscano creare la "grande coalizione" $N$, visto che in quel modo riescono ad ottenere il risultato migliore da un punto di vista collettivo. Resta il problema non banale di come si possa/debba spartire $v(N)$ fra i giocatori. Questo sarà oggetto dei post successivi.
Esercizio
Provare che in un gioco superadditivo l'insieme delle imputazioni è sempre non vuoto.
Fornire un esempio di gioco non superadditivo privo di imputazione ed uno che invece ha imputazioni.
Esercizio
Provare che in un gioco coesivo l'insieme delle imputazioni è sempre non vuoto.
Fornire un esempio di gioco coesivo non superadditivo. Ci sono giochi non coesivi che però hanno imputazioni?
EDIT: revisione del 16/3/08
