teoria 1: gioco in forma strategica ed equilibrio di Nash

[Fioravante Patrone]

Un gioco a due giocatori in forma strategica è:
\( \displaystyle {\left({X},{Y},{f},{g}\right)} \)
Dove:
- \( \displaystyle {X},{Y} \) sono insiemi
- \( \displaystyle {f},{g{:}}{X}\times{Y}\to\mathbb{R} \)

Un equilibrio di Nash per \( \displaystyle {G}={\left({X},{Y},{f},{g}\right)} \) è una coppia ordinata \( \displaystyle {\left({\overline{{x}}},{\overline{{y}}}\right)}\in{X}\times{Y} \) tale che:
- \( \displaystyle {f{{\left({\overline{{x}}},{\overline{{y}}}\right)}}}\ge{f{{\left({x},{\overline{{y}}}\right)}}}\qquad\forall{x}\in{X} \)
- \( \displaystyle {g{{\left({\overline{{x}}},{\overline{{y}}}\right)}}}\ge{g{{\left({\overline{{x}}},{y}\right)}}}\qquad\forall{y}\in{Y} \)

Fornire un esempio di un gioco con uno ed un solo equilibrio di Nash.

Fornire un esempio di un gioco senza equilibri di Nash.

Fornire un esempio di un gioco con esattamente 3 equilibri di Nash.


Ogni commento (pertinente) è benvenuto.

[wedge]

Fornire un esempio di un gioco con uno ed un solo equilibrio di Nash.

X=[0, 1];
Y=[0, 1];
f(x,y)=x+y;
g(x,y)=x+y;

coppia \( \displaystyle {\left({\overline{{x}}};{\overline{{y}}}\right)}={\left({1},{1}\right)} \)
troppo banale?

[Fioravante Patrone]

troppo banale?

Non c'è mai limite alla banalità:
\( \displaystyle {X}={Y}={\left\lbrace{1}\right\rbrace} \)
Non scrivo neanche \( \displaystyle {f} \) e \( \displaystyle {g} \)...

L'esempio tuo (e il mio ) è interessante perché è un esempio di "massimo ombra" (rende max contemporaneamente \( \displaystyle {f} \) e \( \displaystyle {g} \)), la cui esistenza è rara. Tranne che per i giochi di puro coordinamento (detto un po' alla buona, i giochi in cui \( \displaystyle {f{=}}{g} \)), come il tuo

[fields]

Fornire un esempio di un gioco con esattamente 3 equilibri di Nash.

\( \displaystyle {\left({\left\lbrace{1}\right\rbrace},{\left\lbrace{1},{2},{3}\right\rbrace},{f},{f}\right)} \)

dove \( \displaystyle {f} \) e' una qualunque funzione costante. Piu' banale di così...

[Fioravante Patrone]

e un gioco senza equilibri di Nash?

[wedge]

e un gioco senza equilibri di Nash?

X, Y = R
f= x+y
g=x*y

[Fioravante Patrone]

Esagerato!
Volevi farci sapere che, oltre alle addizioni, conosci anche le moltiplicazioni? Non ce n'era bisogno

[Valerio Capraro]

ehm... premetto di non sapere nulla di teoria dei giochi e magari la mia domanda sarà banale, ma non ho capito perchè quella formalizzazione dovrebbe rappresentare un gioco con due giocatori in forma strategica... qual è il significato degli insiemi? e delle funzioni?

[Kroldar]

ehm... premetto di non sapere nulla di teoria dei giochi e magari la mia domanda sarà banale, ma non ho capito perchè quella formalizzazione dovrebbe rappresentare un gioco con due giocatori in forma strategica... qual è il significato degli insiemi? e delle funzioni?

Gli insiemi rappresentano le strategie che un giocatore può attuare. Le funzioni rappresentano l'utilità che ciascun giocatore riceve se una certa coppia di strategie si verifica.

[Valerio Capraro]

bene.. grazie!