Abbiamo visto, in Teoria 1, l'enunciato e la dimostrazione del teorema di Nash. Questo teorema si applica in primis alla cosiddetta estensione mista di un gioco finito. O, per usare un linguaggio meno iniziatico, garantisce che ogni gioco finito abbia equilibrio in strategie miste.
In questo thread vedremo dapprima, in questo post, cosa vuol dire estensione mista di un gioco finito. Poi proverò che il teorema di Nash si può applicare a questa classe di giochi ed infine dedicherò un po' di spazio alla interpretazione delle strategie miste.
Sia dato un gioco in forma strategica, finito, con due giocatori: $(X,Y,f,g)$. Cosa sia un gioco in forma strategica è stato detto in Teoria 0 e Teoria 1. Il fatto di considerare due giocatori anziché un numero finito di giocatori è solo una questione di opportunità, di semplicità (tanto, non si perde nulla di essenziale).
Dire che il gioco è finito vuol dire che gli insiemi $X$ ed $Y$ sono finiti. Mi farà comodo descriverli nel modo seguente:
$X = {x_1, \ldots, x_m}$
$Y = {y_1, \ldots, y_n}$
Allora, l'estensione mista di $G = (X,Y,f,g)$ è il gioco in forma strategica, a due giocatori, $\hat G = (\hat X, \hat Y, \hat f, \hat g)$, dove:
$\hat X = \Delta(X)$, essendo $\Delta(X)$ l'insieme di tutte le probabilità $p$ che possiamo considerare su $X$. Dato che $X$ è un insieme finito, per definire una probabilità su $X$ sarà sufficiente assegnare la probabilità $p_i$ ad ogni elemento $x_i$ di $X$. Insomma, una probabilità su $X$ non è altro che una $m$-pla di numeri reali $p = (p_1, \ldots, p_m)$, con la solita condizione che $p_i \ge 0$ per ogni $i$ e $\sum_{i=1}^m p_i =1$. $\Delta(X)$ è l'insieme delle $p$ che soddisfano queste condizioni.
$\hat Y = \Delta(Y)$, come sopra. Userò $q = (q_1, \ldots, q_n)$.
$\hat f$ e $\hat g$ non sono altro che le estensioni bilineari di $f$ e $g$ da $X \times Y$ a $\Delta(X) \times \Delta(Y)$. Vale a dire:
$\hat f$$(p,q) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n p_i q_j f(x_i,y_j)$
$\hat g$$(p,q) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n p_i q_j g(x_i,y_j)$
Esercizio.
Disegnare $\Delta(X)$ nel caso in cui $X$ abbia due elementi e quando ne ha tre.