Teoria dei gas SNS 2001

Messaggioda elios » 31/10/2008, 17:47

"Un recipiente di volume $V=40 l$, termicamente e meccanicamente isolato dall'esterno, è diviso in due parti di volumi $V_1=10 l$ e $V_2=30 l$, contenenti rispettivamente $0.5$ moli di $O_2$ alla temperatura $T_1=600 °K$ e una mole di $N_2$ alla temperatura $T_2=300 °K$. I due gas vengono considerati come gas ideali, e quindi le capacità termiche a volume costante di una grammomolecola sono uguali.
Il setto divisorio, inizialmente bloccato, è permeabile al calore.
Sempre a partire da queste condizioni iniziali,
a) determinare lo stato finale dei due gas, se il setto divisorio viene mantenuto bloccato
b) determinare lo stato finale dei due gas, se il setto divisorio viene lasciato libero di spostarsi
c) determinare lo stato finale dei due gas, se nel setto divisorio, bloccato, viene praticato un foro
d) senza calcolarla esplicitamente, dire in quale dei tre suddetti casi l'entropia dello stato finale è maggiore e in quale è minore."

Io l'ho risolto così:
In tutti e tre i casi, avverrà un passaggio di calore (possibile, essendo il divisorio permeabile al calore) finché i due gas non raggiungono la stessa temperatura. Poiché il testo mi dice di assumere che i due gas hanno la stessa capacità termica, ciò implica che, a parità di numero di moli, hanno lo stesso "calore specifico". Posso quindi calcolare la temperatura finale dei due gas in questo modo:
$m_(O_2) *c*(600-T)=m_(N_2) *c*(T-300)$
$0.5*(600-T)=1*(T-300)$
$T=400 °K$
Quindi secondo me la temperatura finale dei due gas sarà sempre la stessa, uguale a $400 °K$

a) Il setto divisorio bloccato si traduce in Volume Costante. E' come se i due gas venissero sottoposti ad una trasformazione isocora, fino a raggiungere la temperatura $T$. Quindi calcolo le pressioni finali dei due gas:
$P_f_1= T/T_1 * P_1= 1.66 * 10^5 Pa$
$P_f_2= T/T_2 * P_2= 1.11 * 10^5 Pa$
(Le pressioni iniziali dei due gas le avevo calcolate precedentemente con la legge di stato dei gas perfetti)

b) Ho pensato di interpretare il setto divisorio libero di muoversi come due trasformazioni dei gas a pressione costante. La temperatura finale è sempre la stessa, e ho calcolato i volumi finali con la legge di Gay Lussac, ma ho ottenuto i valori $40 l$ e $6.66 l$, che sommati non fanno $40 l$. Non so come fare..

c) Il fatto che venga praticato un foro significa che i due gas si mescolano occupando tutto il volume. Cioè avremo una miscela di 1.5 moli di gas che occupa un volume di 40 l e a temperatura 400 °K. Posso calcolare la pressione con la legge di stato dei gas.

d) L'entropia secondo me è maggiore nel terzo caso, anche solo per il fatto che i due gas sono mescolati. Non so quale sia lo stato con entropia minore, perche gli altri due mi sembrano equivalenti..

Grazie dell'aiuto!
L'egoista è una persona di cattivo gusto, più interessata a se stessa, che a me. (Ambrose Bierce)
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Messaggioda Steven » 02/11/2008, 00:38

Vedo che ti stai divertendo con questi problemini. Bene, fanno molto bene alla salute, specie se si inizia 2 anni prima, come nel tuo caso.

Veniamo a noi.
a)
Il risultato è giusto.
Tuttavia, non capisco perché mai hai usato la legge della calorimetria, introducendo la massa, che non hai. Presumo tu abbia usato un altro filo di ragionamento che ora non vedo.
Io così avrei fatto: la variazione di energia interna del primo gas è uguale ed opposta alla variazione di energia interna del secondo gas.
Ovvero,
$5/2n_(O_2)R(T-600)=-5/2n_(N_2)R(T-300)$ da cui il risultato.

Per le pressioni, io avrei usato subito la legge dei gas perfetti.
Ovvero, avendo trovato la temperatura (400 kelvin), impostare per ognuno
$P=(nRT)/V$ dove $V$ è noto, $T$ lo abbiamo trovato, e $n$ è noto.
Prova con questo metodo a fare i conti, fammi sapere se tornano come nel tuo caso.
Attenzione al fatto che si usano i litri, e all'unità di misura della R che trovi sulla tavola.

b)
Ho pensato di interpretare il setto divisorio libero di muoversi come due trasformazioni dei gas a pressione costante.

Temo che la pressione non si affatto costante durante la trasformazione.
Come mai hai pensato che lo fosse?
La temperatura finale è sempre la stessa

La stessa di prima intendi, 400K ? Se intendi questo, ho dei dubbi. Infatti devi considerare che l'energia interna è diminuita perchè c'è stato lavoro, e per il primo principio della termodinamica hai
$Q=L+DeltaU$ ma $Q=0$ quindi hai una variazione di energia interna, e come saprai, di temperatura.

Posso dirti che ho saputo ricavare i due volumi. Per temperatura e pressione, non sono riuscito nel breve tempo che ci ho dedicato.
Praticamente all'equilibrio finale, quindi meccanico e termico, si ha che le due pressioni sono uguali, così come le due temperature (ma non a 400 K !)
Dunque
$pV_1=n_1RT$ (ossigeno)
$pV_2=n_2RT$ (azoto)
Dividendo membro a membro
$(V_1)/(V_2)=(n_1)/(n_2)=1/2$
ma d'altra parte tu sai anche che
$V_1+V_2=40l$
Quindi dovresti trovare, a occhio, 26L e 13L.

c)
Il fatto che venga praticato un foro significa che i due gas si mescolano occupando tutto il volume. Cioè avremo una miscela di 1.5 moli di gas che occupa un volume di 40 l e a temperatura 400 °K.

Come sopra: il gas a pressione maggiore "invaderà" l'altra sezione, ma trova l'altro gas e dovrà fare lavoro per spostarlo.
Non è, come per la famosa seconda esperienza di Joule, che il gas incontra il vuoto e non muta temperatura.

Quanto all'entropia, ora come ora non mi pronuncio.

Se hai fatto nel frattempo progressi, dillo.

Ciao, buon proseguimento! :wink:
Steven
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Messaggioda elios » 03/11/2008, 18:31

Grazie Steven!
Una cosa non mi convince: è vero che si compirà lavoro per spostare quel setto divisorio, ma i due gas compieranno lo stesso lavoro, con il segno opposto, quindi nella quantità totale del gas, il lavoro compiuto risulta nullo, o no? Forse sbaglio nel considerare le due quantità di gas come una quantità unica..
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Messaggioda Steven » 05/11/2008, 16:50

elios ha scritto:Una cosa non mi convince: è vero che si compirà lavoro per spostare quel setto divisorio, ma i due gas compieranno lo stesso lavoro, con il segno opposto, quindi nella quantità totale del gas, il lavoro compiuto risulta nullo, o no?

Non sbagli. Ho sbagliato io, già mi era venuto il dubbio parlando qui con un collega di Fisica.

Allo stesso modo, mi smentisco anche sul punto in cui dice di praticare un foro.
L'energia interna del sistema totale non muta (il libro del collega di Fisica dedica una pagina a questo fatto, come mi ha fatto gentilmente notare).

Scusa se ti ho instradato male. Alla fine hai avuto altre idee per gli altri quesiti del problema?

Ciao!
Steven
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Messaggioda elios » 06/11/2008, 18:23

Beh, credo che sia giusta la tua idea sul secondo quesito, che la pressione delle due parti deve essere uguale.
Per quanto riguarda la domanda dell'entropia continuerei a dire che l'entropia dei primi due stati sia la stessa, dato che hanno scambiato la stessa quantità di calore e si trovano alla stessa temperatura finale..
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