Ultrafiltri e gruppi

[Martino]

Ciao!

Piacendomi ultrafiltri e gruppi, come potevo restare indifferente di fronte ad un problema che li coinvolge entrambi? Ve lo propongo.

Ricordo che dato un insieme X, un filtro su X è un sottoinsieme F di P(X) (parti di X) tale che:

1. F è chiuso per intersezioni finite.
2. Se \( \displaystyle A \in F \) e \( \displaystyle B \in P(X) \) è tale che \( \displaystyle A \subseteq B \) allora \( \displaystyle B \in F \) .
3. \( \displaystyle \emptyset \not \in F \) .

Un ultrafiltro è un filtro massimale, ovvero tale che ogni sottoinsieme di P(X) che lo contiene strettamente non è un filtro.

Lemma: Se un'unione finita di sottoinsiemi di X sta in un ultrafiltro su X allora almeno uno di tali sottoinsiemi sta nell'ultrafiltro.
Dimostrazione: omessa.

Consideriamo un insieme infinito \( \displaystyle \Lambda \) . Si vede facilmente che l'insieme

\( \displaystyle F:=\{A \subseteq \Lambda\ |\ \Lambda - A\ \mbox{\`e\ finito}\} \)

è un filtro su \( \displaystyle \Lambda \) . Sia \( \displaystyle U \) un ultrafiltro su X contenente F (si può facilmente mostrare utilizzando il lemma di Zorn che esso esiste).

Ora prendiamo un gruppo finito \( \displaystyle T \) , di ordine \( \displaystyle n \) , e definiamo

\( \displaystyle G:= \prod_{\lambda \in \Lambda}T_{\lambda} \)

dove \( \displaystyle T_{\lambda} \cong T \) per ogni \( \displaystyle \lambda \in \Lambda \) . G è un gruppo con l'operazione definita componente per componente.

Definiamo, per ogni \( \displaystyle g \in G \) ,

\( \displaystyle \Omega(g):=\{\lambda \in \Lambda\ |\ g_{\lambda}=1\} \)

e infine:

\( \displaystyle H:=\{g \in G\ |\ \Omega(g) \in U\} \) .

Dimostrare che H è un sottogruppo normale di G di indice n.

[Martino]

Vedo che questo problemino è passato inosservato.
Lo riesumo nel caso a qualcuno interessasse.

[Hop Frog]

Ciao!

2. Se \( \displaystyle A \in F \) e \( \displaystyle B \in P(X) \) è tale che \( \displaystyle A \subseteq B \) allora \( \displaystyle B \in F \) .

ricorda la definizione di ideale di un anello... che vi sia un nesso??..

[Mathematico]

ricorda la definizione di ideale di un anello... che vi sia un nesso??..

Beh effettivamente un nesso c'è. Le definizioni di Ideale e di filtro sono duali. Detto questo.... Mi defilo con nonchalance, rischierei di fare solamente danni in questa discussione , leggerò con piacere la risposta.

[Martino]

2. Se \( \displaystyle A \in F \) e \( \displaystyle B \in P(X) \) è tale che \( \displaystyle A \subseteq B \) allora \( \displaystyle B \in F \) .

ricorda la definizione di ideale di un anello... che vi sia un nesso??..

Sì, vedi qui.

[Martino]

Up!

[perplesso]

Voglio tentare.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se $h,k \in H$ allora $\Omega(h), \Omega(k) \in U$ e quindi $\Omega(h) \cap \Omega(k) \in U$ , inoltre

$\Omega(h) \cap \Omega(k) = {\lambda \in \Lambda\ | h_{\lambda}=1 = k_{\lambda}} \subset $ $ {\lambda \in \Lambda\ | h_{\lambda} = k_{\lambda}} = {\lambda \in \Lambda\ | h_{\lambda} k_{\lambda}^{-1} $ $= (hk^{-1})_\lambda = 1} = \Omega (hk^{-1}) \in U$

pertanto $hk^{-1} \in H$ che è un gruppo. Facciamo vedere che è normale

$\Omega (g^{-1}hg)= {\lambda \in \Lambda | (g^{-1}hg)_{\lambda} = 1} = {\lambda \in \Lambda | g_{\lambda}^{-1}h_{\lambda}g_{\lambda} = 1 } $ $ = {\lambda \in \Lambda | h_{\lambda} = 1 } = \Omega(h) \in U$

quindi $g^{-1}hg \in H$ che è normale.

Per trovare l'indice non so bene come fare, però ho pensato che se $Hg_1 \ne Hg_2$ allora $g_1g_2^{-1} \notin H$ e quindi $\Omega (g_1g_2^{-1}) \notin U$. Siccome $U$ contiene il filtro cofinito allora di sicuro non contiene insiemi finiti, quindi se $\Omega (g_1g_2^{-1})$ è finito siamo a posto, in particolare questo ci dice che se $g_1$ e $g_2$ sono uguali solo in un numero finito di componenti allora rappresentano due classi laterali diverse. Ora è facile costruire $n$ rappresentanti diversi. Siano $x_1,x_2,...,x_n$ gli elementi di $T$ e scegliamo un elemento $\delta \in \Lambda$. Consideramo gli elementi $g_i \in G$ tali che $(g_i)_\delta = x_1$ e $(g_i)_\lambda = x_i$ per $ \lambda \ne \delta$. Ogni $g_i$ ha una sola coordinata in comune con tutti gli altri e quindi ogni $g_i$ rappresenta una diversa classe laterale. Concludiamo che ci sono almeno $n$ classi laterali. Che poi siano esattamente $n$ ne sono certo ma non so come dimostrarlo.